Question

（2007•上海模擬）已知：如圖，在△OAP中，OA=6，sin∠POA=

3

5

，cot∠PAO=

2

3

，二次函數的圖象經過O、A、P三點．
（1）求點P的坐標；
（2）求二次函數的解析式；
（3）在x軸的下方，且在二次函數圖象的對稱軸上求一點M，使得△MOP與△AOP的面積相等．

Answer 1

分析：（1）過點P作PH⊥OA，垂足為點H，將原圖分為兩個直角三角形，利用銳角三角函數的定義，列方程求解；
（2）設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c，由O、A、P三點坐標代入，列方程求a、b、c的值，確定拋物線解析式；
（3）根據二次函數解析式可知，對稱軸為x=3，可設點M的坐標為（3，y），二次函數的對稱軸與OP相交于點C，由P點坐標可求直線OP解析式，把x=3代入可求C點坐標，由S_△MOP=S_△COM+S_△PCM，S_△MOP=S_△AOP，列方程求M點縱坐標y即可．

解答：解：（1）過點P作PH⊥OA，垂足為點H．
設點P的坐標為（x，y），則OH=x，PH=y． （1分）
∵sin∠POA=

3

5

，∴tan∠POA=

3

4

．∴

PH

OH

=

3

4

．∴OH=

4

3

y． （1分）
∵cot∠PAO=

2

3

，∴

AH

PH

=

2

3

．∴AH=

2

3

y． （1分）
∵OA=OH+AH=6，∴

4

3

y+

2

3

y=6． （1分）
∴y=3．∴x=4．
∴點P的坐標為（4，3）． （1分）
（2）設所求二次函數的解析式為y=ax²+bx+c．
由題意，得

0=c 0=36a+6b+c  3=16a+4b+c

（1分）
解得

a=- 3 8   b= 9 4 c=0

（1分）
∴所求二次函數的解析式為y=-

3

8

x2+

9

4

x． （1分）
（3）設點M的坐標為（3，y），二次函數的對稱軸與OP相交于點C．
由題意，得 點C的坐標為（3，

9

4

）． （1分）
∴S_△MOP=S_△COM+S_△PCM=

1

2

(

9

4

-y)×3+

1

2

(

9

4

-y)×1=

1

2

(

9

4

-y)×4=2(

9

4

-y)．
（1分）
而S_△MOP=S_△AOP，S_△AOP=

1

2

×6×3=9，（1分）
∴2(

9

4

-y)=9．∴y=-

9

4

．
∴點M的坐標為（3，-

9

4

）． （1分）
另解：設二次函數的對稱軸與x軸交于點B，連接MA．
∵△MOP與△AOP的面積相等，且OP是公共邊，
∴點M到OP與點A到OP的距離相等． （1分）
∴AM∥OP．
∴∠MAB=∠POA．（1分）
∴tan∠MAB=tan∠POA=

3

4

．
∵AB=3，∴

BM

3

=

3

4

． （1分）
∴BM=

9

4

．
∴點M的坐標為（3，-

9

4

）． （1分）

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是利用直角三角形的邊角關系求點P的坐標，根據二次函數的圖象經過O、A、P三點，求拋物線解析式，根據三角形面積相等，列方程求M點的坐標．