Question

【題目】（理解新知）如圖①，已知，在內部畫射線，得到三個角，分別為，，，若這三個角中有一個角是另外一個角的兩倍，則稱射線為的“二倍角線”．

（1）一個角的角平分線______這個角的“二倍角線”（填“是”或“不是”）

（2）若，射線為的“二倍角線”，則的大小是______；

（解決問題）如圖②，己知，射線從出發，以/秒的速度繞點逆時針旋轉；射線從出發，以/秒的速度繞點順時針旋轉，射線，同時出發，當其中一條射線回到出發位置的時候，整個運動隨之停止，設運動的時間為秒．

（3）當射線，旋轉到同一條直線上時，求的值；

（4）若，，三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”，直接寫出所有可能的值______．

Answer 1

【答案】（1）是；（2）或或；（3）或或；（4）或.

【解析】

（1）若OC為的角平分線，由角平分線的定義可得，由二倍角線的定義可知結論；

（2）根據二倍角線的定義分三種情況求出的大小即可.

（3）當射線，旋轉到同一條直線上時，，即或，或OP和OQ重合時，即，用含t的式子表示出OP、OQ旋轉的角度代入以上三種情況求解即可；

（4）結合“二倍角線”的定義，根據t的取值范圍分，，，4種情況討論即可.

解：（1）若OC為的角平分線，由角平分線的定義可得，由二倍角線的定義可知一個角的角平分線是這個角的“二倍角線”；

（2）當射線為的“二倍角線”時，有3種情況，

①，；

②，，，；

③，，，

綜合上述，的大小為或或；

（3）當射線，旋轉到同一條直線上時，有以下3種情況，

①如圖

此時，即，解得；

②如圖

此時點P和點Q重合，可得，即，解得；

③如圖

此時，即，解得，

綜合上述，或或；

（4）由題意運動停止時，所以，

①當時，如圖，

此時OA為的“二倍角線”，，

即，解得；

②當時，如圖，

此時，，所以不存在；

③當時，如圖

此時OP為的“二倍角線”，，

即

解得 ；

④當時，如圖，

此時，所以不存在；

綜上所述，當或時，，，三條射線中，一條射線恰好是以另外兩條射線為邊組成的角的“二倍角線”.