Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，矩形AOCD的頂點A的坐標是（0，4），現有兩動點P，Q，點P從點O出發沿線段OC（不包括端點O，C）以每秒2個單位長度的速度勻速向點C運動，點Q從點C出發沿線段CD（不包括端點C，D）以每秒1個單位長度的速度勻速向點D運動．點P，Q同時出發，同時停止，設運動時間為t（秒），當t=2（秒）時，PQ=2．

（1）求點D的坐標，并直接寫出t的取值范圍；
（2）連接AQ并延長交x軸于點E，把AE沿AD翻折交CD延長線于點F，連接EF，則△AEF的面積S是否隨t的變化而變化？若變化，求出S與t的函數關系式；若不變化，求出S的值；
（3）在（2）的條件下，t為何值時，四邊形APQF是梯形？

Answer 1

（1）D（8，4），0＜t＜4；（2）不變化；（3）t=（6﹣2）

試題分析：（1）先求出t=2秒時OP、CQ的長，在Rt△PCQ中，由勾股定理可求得PC的長，從而得到OC的長，再根據矩形的性質即可得到點D的坐標，根據點P、點Q到達終點所需時間即得t的取值范圍；
（2）先根據矩形的性質證得△AQD∽△EQC，再根據相似三角形的性質表示出CE的長，由翻折變換的性質可知DF=DQ=4﹣t，即可得到CF=CD+DF=8﹣t，再根據S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE即可得到結果；
（3）若四邊形APQF是梯形，因為AP與CF不平行，所以只有PQ∥AF，即得△CPQ∽△DAF，再根據相似三角形的性質即可求得t的值，再結合（1）中＜t＜4即可得到結果.
（1）由題意可知，當t=2（秒）時，OP=4，CQ=2，
在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC===4，
∴OC=OP+PC=4+4=8
又∵矩形AOCD，A（0，4），∴D（8，4）．
點P到達終點所需時間為=4秒，點Q到達終點所需時間為=4秒，
由題意可知，t的取值范圍為：0＜t＜4；
（2）結論：△AEF的面積S不變化．
∵AOCD是矩形，∴AD∥OE，∴△AQD∽△EQC，
∴，即，解得CE=．
由翻折變換的性質可知：DF=DQ=4﹣t，則CF=CD+DF=8﹣t．
S=S_梯形AOCF+S_△FCE﹣S_△AOE=（OA+CF）•OC+CF•CE﹣OA•OE=×8+（8﹣t）•﹣×4×（8+）
化簡得S=32為定值．所以△AEF的面積S不變化，S=32；
（3）若四邊形APQF是梯形，因為AP與CF不平行，所以只有PQ∥AF．
由PQ∥AF可得：△CPQ∽△DAF，
∴，即，
化簡得t²﹣12t+16=0，
解得：t₁=6+2，t₂=6﹣2，
由（1）可知，0＜t＜4，
∴t₁=6+2不符合題意，舍去．
∴當t=（6﹣2）秒時，四邊形APQF是梯形．
點評：動點的綜合題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般壓軸題形式出現，難度較大.