Question

【題目】已知，點P是正方形ABCD內的一點，連接PA、PB、PC。

(1)將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P’CB的位置（如圖1）。

①設AB的長為a，PB的長為b(b＜a)，求△PAB旋轉到△P’CB的過程中邊PA所掃過區域的面積；

②若PA＝2，PB＝4，∠APB＝135°，求PC的長。

(2)如圖2，在(1)的條件下，若PA2＋PC2＝2PB2，請說明點P必在對角線AC上。

Answer 1

【答案】（1）①②6；（2）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠＝90°，再證∠BPC＋∠APB＝180°，即點P在對角線AC上．

【解析】試題分析：（1）①△PAB旋轉到△P′CB的過程中邊PA所掃過區域（圖1中陰影部分）的面積實際是大扇形OAC與小扇形BPP′的面積差，且這兩個扇形的圓心角同為90度；

②連接PP′，證△PBP′為等腰直角三角形，從而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；

（2）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理證出∠＝90°，再證∠BPC＋∠APB＝180°，即點P在對角線AC上．

②連接PP′

根據旋轉的性質可知：

BP=BP′，∠PBP′=90°；

即：△PBP′為等腰直角三角形，

∴∠BPP′=45°，

∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°，

∴∠BPA+∠BPP′=180°，

即A、P、P′共線，

∴∠PP′C=135°-45°=90°；

在Rt△PP′C中，PP′=4，P′C=PA=2，根據勾股定理可得PC=6．

（2）將△PAB繞點B順時針旋轉90°到△P′CB的位置，連接PP′．

同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2=2PB2；

∵PA2+PC2=2PB2=PP′2，

∴PC2+P′C2=PP′2，

∴∠P′CP=90°；

∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四邊形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°；

∵∠BPA=∠BP′C，

∴∠BPC+∠APB=180°，即點P在對角線AC上．