Question

【題目】如圖，Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC，E點為射線CB上一動點，連接AE，作AF⊥AE且AF=AE．

（1）如圖1，過F點作FD⊥AC交AC于D點，求證：EC+CD=DF；

（2）如圖2，連接BF交AC于G點，若 =3，求證：E點為BC中點；

（3）當E點在射線CB上，連接BF與直線AC交于G點，若，求：（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）．

【解析】

(1)通過全等三角形△ADF≌△EDA的對應邊相等得到:AD=CD,FD=AC,則利用等量代換和圖形中相關線段間的和差關系證得結論;
(2)過F點作FD⊥AC交AC于D點,根據(1)中結論可得FD=AC=BC,即可證明△FGD≌△BCD,可得DG=CG,根據=3可證=,根據AD=CE,AC=BC ,即可解題;
(3)過F作FD⊥AG的延長線交于點D,易證=,由(1)(2)可以知道△ADF≌△ECA,△GDF≌△GCB,可得CG=GD,AD=CE ,即可求得的值,即可解題.

（1）∵∠FAD+∠CAE=90°，∠FAD+∠AFD=90°，

∴∠CAE=∠AFD，

在△AGD和△ECA中，

∵∠ADF=∠ECA，∠AFD=∠CAE，AF=AE，

∴△ADF≌△ECA（AAS）；

∴AD=EC，DF=AC.

∴DF=AC=AD+CD=EC+CD.

即EC+CD=DF.

（2）過F點作FD⊥AC交AC于D點，

∵△ADF≌△ECA，

∴FD=AC=BC，

在△FGD和△BCD中，

∵∠FGD=∠CGB，∠FDG=∠C=90°，FD=BC，

∴△FGD≌△BGC（AAS），

∴DG=CG，

∵ =3，∴AG=3CG=AD+DG，∴AD=2CG=CD=AC，

∵AD=CE，AC=BC,∴CE=BC,

∴E點為BC中點；

（3）類比（2）問中的解法，過F作FD⊥AC,可求得．