Question

如圖，已知：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M是邊AB的中點，E、G分別是邊AC、BC上的一點，∠EMG=45°，AC與MG的延長線相交于點F．
（1）在不添加字母和線段的情況下寫出圖中一定相似的三角形，并證明其中的一對；
（2）連接結EG，當AE=3時，求EG的長．

Answer 1

分析：（1）因為△ABC是等腰直角三角形，從而可得到∠A=∠B=45°，再根據外角的性質得到∠AEM=∠BMG，從而可根據有兩組角相等的兩個三角形相似，得到△AEM∽△BMG，同理可證明△FEM∽△FMA．
（2）根據勾股定理可求得AB的長，從而可得到AM，BM的長，再根據相似三角形的判定及性質，根據相似比即可求得EG的長．

解答：解：（1）一定相似的三角形：△AEM∽△BMG，△FEM∽△FMA，（2分）
以下證明△AEM∽△BMG
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠A=∠B=45°．（1分）
∵∠EMB=∠EMG+∠GMB=∠A+∠AEM，
∵∠EMG=45°，
∴∠AEM=∠BMG．（1分）
∴△AEM∽△BMG．（2分）

（2）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=4

2

．（1分）
∵M為AB的中點，
∴AM=BM=2

2

．
∵△AME∽△BGM，
∴

AE

BM

=

AM

BG

∴

3

2 2

=

2 2

BG

．
∴BG=

8

3

．（2分）
∴CG=4-

8

3

=

4

3

，CE=4-3=1．（2分）
∴EG=

CE2+CG2

=

5

3

．（1分）

點評：此題主要考查學生對相似三角形的判定及性質和勾股定理等知識點的掌握情況．