Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，點P是線段AD上一動點，O為BD的中點，PO的延長線交BC于Q．
（1）求證：OP=OQ；
（2）若AD=8厘米，AB=6厘米，P從點A出發，以1厘米/秒的速度向D運動（不與D重合）．設點P運動時間為t秒，請用t表示PD的長；并求t為何值時，四邊形PBQD是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠PDO=∠QBO，

又∵O為BD的中點，

∴OB=OD，

在△POD與△QOB中，

∵

∴△POD≌△QOB（ASA），

∴OP=OQ；

（2）解：PD=8﹣t，

∵四邊形PBQD是菱形，

∴PD=BP=8﹣t，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A=90°，

在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2=BP2，

即62+t2=（8﹣t）2，

解得：t= ，

即運動時間為 秒時，四邊形PBQD是菱形．

【解析】（1）本題需先根據四邊形ABCD是矩形，得出AD∥BC，∠PDO=∠QBO，再根據O為BD的中點得出△POD≌△QOB，即可證出OP=OQ．（2）本題需先根據已知條件得出∠A的度數，再根據AD=8厘米，AB=6厘米，得出BD和OD的長，再根據四邊形PBQD是菱形時，即可求出t的值，判斷出四邊形PBQD是菱形．
【考點精析】關于本題考查的勾股定理的概念和菱形的性質，需要了解直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2；菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半才能得出正確答案．