Question

24、如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，
（1）用直尺和圓規作出∠CBA的平分線BE，交直角邊AC于E；（保留作圖痕跡）
（2）沿BE折疊這個三角形，使點C與AB邊上的一點D重合．當∠A滿足什么條件時，點D恰好為AB的中點？利用此條件證明D為AB的中點．

Answer 1

分析：（1）①以點B為圓心，任意長為半徑畫弧，與AB、BC交于M、N兩點，②分別以M、N為圓心，以大于$frac{1}{2}$MN的長畫弧，兩弧交于P點，③連接BP交AC與E點；
（2）點D為AB的中點，即DE垂直平分AB，則∠A=∠EBA，由折疊可知∠EBA=∠EBC，而∠A+∠EBA+∠EBC=90°，從而可求∠A．

解答：解：（1）如圖所示．

（2）①由折疊可知，∠EBA=∠EBC，
當D為AB的中點時，DE垂直平分AB，
根據垂直平分線的性質可知，∠A=∠EBA，
在Rt△ABC中，∠A+∠CBA=90°，
即∠A+∠EBA+∠EBC=90°，即∠A=30°，
所以，當∠A=30°時，點D恰好為AB的中點．

點評：本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據軸對稱的性質，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等．