Question

【題目】如圖，已知拋物線過(guò)點(diǎn)A（4，0），B（﹣2，0），C（0，﹣4）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在圖甲中，點(diǎn)M是拋物線AC段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)圖中陰影部分的面積最小值時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）在圖乙中，點(diǎn)C和點(diǎn)C1關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，點(diǎn)P在拋物線上，且∠PAB=∠CAC1，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)y＝x2－x－4(2)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，－4)(3)－或－

【解析】

(1)設(shè)交點(diǎn)式y=a(x+2)(x-4),然后把C點(diǎn)坐標(biāo)代入求出a即可得到拋物線解析式;
(2) 連接OM，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.由題意知，當(dāng)四邊形OAMC面積最大時(shí)，陰影部分的面積最小．S四邊形OAMC＝S△OAM＋S△OCM－(m－2)2＋12. 當(dāng)m＝2時(shí)，四邊形OAMC面積最大，此時(shí)陰影部分面積最小;

(3) 拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，點(diǎn)C與點(diǎn)C1關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以C1(2，－4)．連接CC1，過(guò)C1作C1D⊥AC于D，則CC1＝2.先求AC＝4，CD＝C1D＝，AD＝4－＝3；設(shè)點(diǎn)P ，過(guò)P作PQ垂直于x軸，垂足為Q. 證△PAQ∽△C1AD，得，即，解得解得n＝－，或n＝－，或n＝4(舍去).

(1)拋物線的解析式為y＝ (x－4)(x＋2)＝x2－x－4.

(2)連接OM，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

由題意知，當(dāng)四邊形OAMC面積最大時(shí)，陰影部分的面積最小．

S四邊形OAMC＝S△OAM＋S△OCM

＝× 4m＋× 4

＝－m2＋4m＋8＝－(m－2)2＋12.

當(dāng)m＝2時(shí)，四邊形OAMC面積最大，此時(shí)陰影部分面積最小，所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，－4)．

(3)∵拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，點(diǎn)C與點(diǎn)C1關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，所以C1(2，－4)．

連接CC1，過(guò)C1作C1D⊥AC于D，則CC1＝2.

∵OA＝OC，∠AOC＝90°，∠CDC1＝90°，

∴AC＝4，CD＝C1D＝，AD＝4－＝3，

設(shè)點(diǎn)P ，過(guò)P作PQ垂直于x軸，垂足為Q.

∵∠PAB＝∠CAC1，∠AQP＝∠ADC1，

∴△PAQ∽△C1AD，

∴，

即 ，化簡(jiǎn)得 ＝(8－2n)，

即3n2－6n－24＝8－2n，或3n2－6n－24＝－(8－2n)，

解得n＝－，或n＝－，或n＝4(舍去)，

∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為－或－.