Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC＝4，點E是AD的中點，將矩形ABCD沿直線BE折疊，點A對應點為點A'，延長BA'，交邊DC于點F．若點F是DC的三等分點，則CD的長為_____．

Answer 1

【答案】或2

【解析】

設CD＝3x，分DF＝x，DF＝2x兩種情況討論，由折疊性質可得AB＝A'B，∠BA'E＝∠A＝90°，AE＝A'E，由“HL”可證Rt△A'EF≌Rt△DEF，可得A'F＝DF，由勾股定理可求CD的長．

解：如圖，連接EF

∵四邊形ABCD是矩形

∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°

∵點E是AD中點

∴AE＝DE，

∵將矩形ABCD沿直線BE折疊，

∴AB＝A'B，∠BA'E＝∠A＝90°，AE＝A'E

∴A'E＝DE，EF＝EF

∴Rt△A'EF≌Rt△DEF（HL）

∴DF＝A'F

設AB＝CD＝3x＝A'B，

若DF＝x，

∴A'F＝x，CF＝2x

∴BF＝4x，

在Rt△BCF中，BF2＝CF2+BC2，

∴16x2＝4x2+16

∴x＝

∴CD＝3x＝2

若DF＝2x，則CF＝x，

同理可得：CD＝

故答案為：或2