Question

【題目】如圖，已知直線AQ與x軸負半軸交于點A，與y軸正半軸交于點Q，∠QAO=45°，直線AQ在y軸上的截距為2，直線BE：y=-2x+8與直線AQ交于點P．

（1）求直線AQ的解析式；

（2）在y軸正半軸上取一點F，當四邊形BPFO是梯形時，求點F的坐標．

（3）若點C在y軸負半軸上，點M在直線PA上，點N在直線PB上，是否存在以Q、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，若存在請求出點C的坐標；若不存在請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）直線AQ的解析式為y=x+2；（2）F（0，4）；（3）存在，C（0，）或C（0，-10）

【解析】

(1)利用待定系數法即可求出直線AQ的解析式；

(2)先求出直線AQ和直線BE的交點P的坐標，由PF∥x軸可知F橫坐標為0，縱坐標與點P的縱坐標相等；

(3)分CQ為菱形的對角線與CQ是菱形的一條邊兩種情況討論.

解：（1）設直線AQ的解析式為y=kx+b，

∵直線AQ在y軸上的截距為2，

∴b=2，

∴直線AQ的解析式為y=kx+2，

∴OQ=2，

在Rt△AOQ中，∠OAQ=45°，

∴OA=OQ=2，

∴A（-2，0），

∴-2k+2=0，

∴k=1，

∴直線AQ的解析式為y=x+2；

（2）由（1）知，直線AQ的解析式為y=x+2①，

∵直線BE：y=-2x+8②，

聯立①②解得，

∴P（2，4），

∵四邊形BPFO是梯形，

∴PF∥x軸，

∴F（0，4）；

（3）設C（0，c），

∵以Q、C、M、N為頂點的四邊形是菱形，

①當CQ是對角線時，CQ與MN互相垂直平分，

設C（0，c），

∵CQ的中點坐標為（0，），

∴點M，N的縱坐標都是，

∴M（，），N（，），

∴+=0，

∴c=-10，

∴C（0，-10），

②當CQ為邊時，CQ∥MN，CQ=MN=QM，

設M（m，m+2），

∴N（m，-2m+8），

∴|3m-6|=2-c=|m|，

∴m=或m=，

∴c=或c=（舍），

∴，

∴（0，）或C（0，-10）.