Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，直線y=kx+n（k≠0）經過B，C兩點，已知A（1，0），C（0，3），且BC=5．

（1）分別求直線BC和拋物線的解析式（關系式）；
（2）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵C（0，3），即OC=3，BC=5，

∴在Rt△BOC中，根據勾股定理得：OB= =4，即B（4，0），

把B與C坐標代入y=kx+n中，得： ，

解得：k=﹣ ，n=3，

∴直線BC解析式為y=﹣ x+3；

由A（1，0），B（4，0），設拋物線解析式為y=a（x﹣1）（x﹣4）=ax2﹣5ax+4a，

把C（0，3）代入得：a= ，

則拋物線解析式為y= x2﹣ x+3

（2）解：存在．

如圖所示，分兩種情況考慮：

∵拋物線解析式為y= x2﹣ x+3，

∴其對稱軸x=﹣ =﹣ = ．

當P1C⊥CB時，△P1BC為直角三角形，

∵直線BC的斜率為﹣ ，

∴直線P1C斜率為 ，

∴直線P1C解析式為y﹣3= x，即y= x+3，

與拋物線對稱軸方程聯立得 ，

解得： ，

此時P（ ， ）；

當P2B⊥BC時，△BCP2為直角三角形，

同理得到直線P2B的斜率為 ，

∴直線P2B方程為y= （x﹣4）= x﹣ ，

與拋物線對稱軸方程聯立得： ，

解得： ，

此時P2（ ，﹣2）．

綜上所示，P1（ ， ）或P2（ ，﹣2）．

當點P為直角頂點時，設P（ ，y），

∵B（4，0），C（0，3），

∴BC=5，

∴BC2=PC2+PB2，即25=（ ）2+（y﹣3）2+（ ﹣4）2+y2，解得y= ，

∴P3（ ， ），P4（ ， ）．

綜上所述，P1（ ， ），P2（ ，﹣2），P3（ ， ），P4（ ， ）．

【解析】（1）利用勾股定理求出B坐標，再把A、C坐標代入解析式即可；（2）“以B，C，P三點為頂點的三角形是直角三角形”須分類討論：點P為直角頂點；點C為直角頂點；點B為直角頂點；分別過C、B作垂線與對稱軸相交，當P為直角頂點時，可利用勾股定理列方程.