Question

以[x]表x的整數(shù)部分，即不大于x的最大整數(shù)．例如[3.4]=3，[-3.4]=-4．方程9x²-8[x]=1的所有有理數(shù)根是

 

．

Answer 1

分析：由取整函數(shù)的性質(zhì)得出8x≥8[x]=9x²-1，從得出不等式，進(jìn)而得出不等式的解集，在分區(qū)間分析得出符合要求的取值．

解答：解：由[x]的定義，可得8x≥8[x]=9x²-1，
所以9x²-8x-1≤0，
（x-1）（9x+1）≤0，
解此不等式得：-

1

9

≤x≤1．
現(xiàn)把x的取值范圍分成：2個(gè)小區(qū)間（分類）來(lái)進(jìn)行求解．
（1）當(dāng)-

1

9

≤x＜0時(shí)，沒(méi)有符合要求的x的值；
（2）當(dāng)0≤x＜1時(shí)，原方程為9x²=1，
解得x=±

1

3

，（x=-

1

3

不在-

1

9

≤x≤0范圍內(nèi)舍去）；
（3）當(dāng)x=1時(shí)，原方程為9x²=9，
解得：x=1，
∴方程9x²-8[x]=1的所有有理數(shù)根是1，

1

3

．
故答案為：1，

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了取整函數(shù)的性質(zhì)，得出9x²-8x-1≤0，的解集是難點(diǎn)，可以結(jié)合而此函圖象判斷出，利用數(shù)形結(jié)合解決數(shù)學(xué)問(wèn)題是解題中經(jīng)常用到的一種方法．