Question

如圖，二次函數(shù)y=-mx²+4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），矩形ABCD的頂點(diǎn)B、C在x軸上，A、D在拋物線(xiàn)上，矩形ABCD在拋物線(xiàn)與x軸所圍成的圖形內(nèi)．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），試求矩形ABCD的周長(zhǎng)P關(guān)于自變量x的函數(shù)解析式，并求出自變量x的取值范圍；
（3）是否存在這樣的矩形ABCD，使它的周長(zhǎng)為9？試證明你的結(jié)論．
（4）求出當(dāng)x為何值時(shí)P有最大值？

Answer 1

（1）∵二次函數(shù)y=-mx²+4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2），
∴4m=2，
即m=

1

2

，所以次拋物線(xiàn)的解析式為：y=-

1

2

x²+2．

（2）∵A點(diǎn)在x軸的負(fù)方向上坐標(biāo)為（x，y），四邊形ABCD為矩形，BC在x軸上，
∴AD∥x軸，
又由拋物線(xiàn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
所以D、C點(diǎn)關(guān)于y軸分別與A、B對(duì)稱(chēng)．
所以AD的長(zhǎng)為-2x，AB長(zhǎng)為y，
所以周長(zhǎng)p=2y-4x=2（-

1

2

x²+2）-4x=-（x+2）²+8．
∵A在x軸的負(fù)半軸上，
∴x＜0，
∵四邊形ABCD為矩形，
∴y＞0，
即x＞-2．
所以p=-（x+2）²+8，其中-2＜x＜0．

（3）不存在，
證明：假設(shè)存在這樣的p，即：
9=-（x+2）²+8，
解此方程得：x無(wú)解，所以不存在這樣的p．

（4）由p=-（x+2）²+8，且-2＜x＜0．
故p沒(méi)有最大值．