Question

如圖1，直線y=-x+2與x軸、y軸分別相交于點C、D，一個含45°角的直角三角板的銳角頂點A在線段CD上滑動，滑動過程中三角板的斜邊始終經過坐標原點，∠A的另一邊與x軸的正半軸相交于點B．
（1）試探索△AOB能否為等腰三角形？若能，請求出點B的坐標；若不能，請說明理由．
（2）如圖2，若將題中“直線y=-x+2”、“∠A的另一邊與x軸的正半軸相交于點B”分別改為：“直線y=-x+t（t＞0）”、“∠A的另一邊與x軸的負半軸相交于點B”（如圖2），其他條件保持不變，請探索（1）中的問題（只考慮點A在線段CD的延長線上且不包括點D時的情況）

Answer 1

分析：（1）由題意，△AOB為等腰三角形有三種情況：①OA=OB，②AB=OB，③AB=AO，根據等腰三角形的性質和等腰直角三角形的性質，分別分析，解答出點B的坐標即可；
（2）同（1），△AOB為等腰三角形有三種情況：①OA=OB，②AB=OB，③AB=AO，根據等腰三角形的性質，解答出點B的坐標即可．

解答：解：（1）由題意，把x=0代入y=-x+2，y=0代入y=-x+2，
∴點C、D的坐標分別為（2，0），（0，2），
∴OC=OD=2，CD=2

2

，∠OCD=∠ODC=45°，
當點A在線段CD上時，△AOB為等腰三角形有如下三種情況：
①OA=OB，則∠OBA=∠OAB=45°，因此∠AOB=90°，
點A與點D重合，點B與點C重合，所以點B的坐標為（2，0）；
②AB=OB，則∠BOA=∠OAB=45°=∠OCD，
因此∠ABO=90°，AO=AC，
所以點B為線段的中點，點B的坐標為（1，0）；
③AB=AO，由∠CAO=∠ADO+∠AOD得：
∠BAC+45°=∠AOD+45°，
則∠BAC=∠AOD，
又∠OCD=∠ODC，
所以∠ABC=∠OAD，
因此△ABC≌△OAD，
所以AC=OD=2，BC=AD=2

2

-2，
則OB=4-2

2

，
點B的坐標為（4-2

2

，0），
綜上，在滑動過程中△AOB可為等腰三角形，點B的坐標分別為（2，0），（1，0），（4-2

2

，0）；

（2）①若OA=OB，則∠OBA=∠OAB=45°，因此∠AOB=90°，點A與點D重合，
則OB=OD=t，所以點B的坐標為（-t，0），故與題意不符；
②若AB=OB，則∠BOA=∠OAB=45°=∠OCD，
因此∠ABO=90°，不成立；
③若AB=AO，則∠AOB=∠ABO=67.5°，
∴∠AOD=∠BOD-∠AOB=22.5°，
∴∠OAD=∠ODC-∠AOD=22.5°=∠AOD，
∴∠ABC=∠BAC=67.5°，
∴AD=OD=t，CB=CA=

2

t+t，
∴OB=CB-CO=

2

t，
∴點B的坐標為（-

2

t，0）．
綜上，在滑動過程中△AOB可為等腰三角形，點B的坐標分別為（-

2

t，0）．

點評：本題主要考查了等腰和等腰直角三角形的性質及一次函數與圖形坐標問題，要注意的是在解答過程中，要根據不同情況進行分類求解．