Question

如圖，已知一次函數y=-x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C．
（1）求∠CAO的度數；
（2）若將直線y=-x+2沿x軸向右平移兩個單位，試求出平移后的直線的解析式；
（3）若正比例函數y=kx（k≠0）的圖象與y=-x+2的圖象交于點B，且∠ABO=30°，求AB的長及點B的坐標．

Answer 1

分析：（1）對于一次函數解析式，分別令y與x為0，求出對應x與y的值，確定出A與C坐標，得到AO=CO，即三角形AOC為等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性質即可求出∠CAO的度數；
（2）利用平移規律：“左加右減”，即可確定出平移后的直線解析式；
（3）根據題意畫出圖形，利用銳角三角函數關系以及30°所對的邊等于斜邊的一半，得出AB的長，進而即可求出B的坐標，進而求出AB的長．

解答：解：（1）對于一次函數y=-x+2，
令x=0，求出y=2；令y=0，求出x=2，
∴A（2，0），C（0，2），即OA=OC=2，
∴△AOC為等腰直角三角形，
∴∠CAO=45°；

（2）利用平移規律得：平移后的直線解析式為y=-（x-2）+2=-x+4；

（3）根據題意畫出相應的圖形，過O作OD⊥AB，于點D，
∵一次函數y=-x+2的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴可求出A（2，0），C（0，2），
∴Rt△AOC是等腰直角，
∴DO=CD=AD，
∵CO=OA=2，
∴CD=DO=AD=

2

，
在△DOB中，∠DBO=30°，
∴BO=2

2

，
∴BD=

(2 2 )2-( 2 )2

=

6

，
∴AB=

6

+

2

，
∴B點縱坐標為：

6 + 2

2

=

3

+1，
∴B點橫坐標為：-[（

3

+1）-2]=1-

3

，
∴B（1-

3

，1+

3

），
同理可得出：AB′=

6

-

2

，
∴B′點橫坐標為：

6 - 2

2

+2=

3

+1，
B′點縱坐標為：-

6 - 2

2

=-

3

+1，
∴B′（1+

3

，1-

3

）．

點評：此題考查了一次函數綜合題，涉及的知識有：一次函數與坐標軸的交點，等腰直角三角形的判定與性質，兩直線的交點坐標，以及平移規律，確定出直線OB解析式是解第三問的關鍵．