Question

如圖，⊙O是△ABC的外接圓，FH是⊙O的切線，切點為F，FH∥BC，連接AF交BC于E，∠ABC的平分線BD交AF于D，連接BF．
（1）證明：AF平分∠BAC；
（2）證明：BF=FD；
（3）若EF=4，DE=3，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OF，通過切線的性質證OF⊥FH，進而由FH∥BC，得OF⊥BC，即可由垂徑定理得到F是弧BC的中點，根據圓周角定理可得∠BAF=∠CAF，由此得證；
（2）求BF=FD，可證兩邊的對角相等；易知∠DBF=∠DBC+∠FBC，∠BDF=∠BAD+∠ABD；觀察上述兩個式子，∠ABD、∠CBD是被角平分線平分∠ABC所得的兩個等角，而∠CBF和∠DAB所對的是等弧，由此可證得∠DBF=∠BDF，即可得證；
（3）由EF、DE的長可得出DF的長，進而可由（2）的結論得到BF的長；然后證△FBE∽△FAB，根據相似三角形得到的成比例線段，可求出AF的長，即可由AD=AF-DF求出AD的長．

解答：（1）證明：連接OF
∵FH是⊙O的切線
∴OF⊥FH（1分）
∵FH∥BC，
∴OF垂直平分BC（2分）
∴

BF

=

FC

，
∴∠1=∠2，
∴AF平分∠BAC（3分）

（2）證明：由（1）及題設條件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2（4分）
∴∠1+∠4=∠2+∠3
∴∠1+∠4=∠5+∠3（5分）
∵∠1+∠4=∠BDF，∠5+∠3=∠FBD，
∴∠BDF=∠FBD，
∴BF=FD（6分）

（3）解：在△BFE和△AFB中
∵∠5=∠2=∠1，∠AFB=∠AFB，
∴△BFE∽△AFB（7分）
∴

BF

AF

═

FE

FB

，（8分）
∴BF²=FE•FA
∴FA=

BF2

FE

（9分），EF=4，BF=FD=EF+DE=4+3=7，
∴FA=

72

4

=

49

4

∴AD=AF-DF=AF-（DE+EF）=

49

4

-7=

21

4

（10分）

點評：此題主要考查了切線的性質、圓周角定理及相似三角形的判定和性質．