Question

（2012•郴州）閱讀下列材料：
    我們知道，一次函數y=kx+b的圖象是一條直線，而y=kx+b經過恒等變形可化為直線的另一種表達形式：Ax+Bx+C=0（A、B、C是常數，且A、B不同時為0）．如圖1，點P（m，n）到直線l：Ax+By+C=0的距離（d）計算公式是：d=

|A×m+B×n+C|

A2+B2

．

    例：求點P（1，2）到直線y=

5

12

x-

1

6

的距離d時，先將y=

5

12

x-

1

6

化為5x-12y-2=0，再由上述距離公式求得d=

|5×1+(-12)×2+(-2)|

52+(-12)2

=

21

13

．
    解答下列問題：
    如圖2，已知直線y=-

4

3

x-4與x軸交于點A，與y軸交于點B，拋物線y=x²-4x+5上的一點M（3，2）．
    （1）求點M到直線AB的距離．
    （2）拋物線上是否存在點P，使得△PAB的面積最小？若存在，求出點P的坐標及△PAB面積的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）將直線AB的解析式y=-

4

3

x-4轉化為直線的另一種表達方式4x+3y+12=0，由閱讀材料中提供的點到直線的距離公式，即可求出M點到直線AB的距離；
（2）假設拋物線上存在點P，使得△PAB的面積最小，設P坐標為（a，a²-4a+5），然后利用點到直線的距離公式表示出P點到直線AB的距離d，由二次函數y=3a²-8a+27中根的判別式小于0，得到此二次函數與x軸沒有交點且開口向上，得到函數值恒大于0，根據正數的絕對值等于它本身進行化簡，然后根據二次函數求最值的方法求出y=3a²-8a+27的最小值，以及此時a的值，進而確定出d的最小值以及此時P的坐標，再由直線AB的解析式，令x=0和y=0求出對應的y與x的值，確定出OA與OB的長，在直角三角形AOB中，利用勾股定理求出AB的長，由底AB乘以高d的最小值除以2，即可得出△PAB面積的最小值．

解答：解：（1）將直線AB變為：4x+3y+12=0，
又M（3，2），
則點M到直線AB的距離d=

|12+6+12|

42+32

=6；

（2）假設拋物線上存在點P，使得△PAB的面積最小，設P坐標為（a，a²-4a+5），
∵y=3a²-8a+27中，△=64-12×27=-260＜0，
∴y=3a²-8a+27中函數值恒大于0，
∴點M到直線AB的距離d=

|4a+3(a2-4a+5)+12|

42+32

=

3a2-8a+27

5

，
又函數y=3a²-8a+27，當a=

4

3

時，y_min=

65

3

，
∴d_min=

65 3

5

=

13

3

，此時P坐標為（

4

3

，

13

9

）；
又y=-

4

3

x-4，令x=0求出y=-4，令y=0求出x=-3，
∴OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，根據勾股定理得：AB=

32+42

=5，
∴S_△PAB的最小值為

1

2

×5×

13

3

=

65

6

．

點評：此題考查了二次函數的圖象與性質，一次函數與坐標軸的交點，勾股定理，坐標與圖形性質，二次函數與坐標軸的交點，以及點到直線的距離公式，其中理解題中的閱讀材料，靈活運用點到直線的距離公式是解本題的關鍵．