Question

【題目】（1）如圖，小林同學想把一張矩形的紙沿對角線BD對折，對折后C點與C′點重合，BC和AD相交于E，請你用尺規作圖的方法作出C′點，并保留作圖痕跡．

（2）如圖，已知在△ABC中，∠ABC=3∠C,AD是∠BAC的平分線，BE⊥AD于E，求證：BE=(AC－AB)

Answer 1

【答案】（1）作圖見解析；（2）證明見解析

【解析】試題分析：（1）分別以B、D為圓心，以BC、CD的長為半徑畫弧，兩弧的交點就是所要找的點C′；

（2）根據全等三角形的判定與性質，可得∠ABF=∠AFB，AB=AF，BE=EF，根據三角形外角的性質，可得∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF，根據角的和差、等量代換，可得∠CBF=∠C，根據等腰三角形的判定，可得BF=CF，根據線段的和差、等式的性質，可得答案．

試題解析：

（1）分別以B為圓心，以BC為半徑畫弧，以D為圓心，以DC為半徑畫弧，兩弧在AD的上方相交于一點C′，

則C′為所要畫的點. 保留作圖痕跡。

（2）證明：延長BE交AC于F，如圖所示：

∵AD是∠BAC的平分線，

∴∠BAE=∠FAE.

在△BAE和△FAE中，

∴△BAE≌△FAE，

∴∠ABF=∠AFB，BE=FE，AB=AF，

∴BE=BF，

∠ABC=∠ABF+∠FBC=∠AFB+∠FBC=（∠C+∠FBC）+∠FBC=∠C+2∠FBC，

又∵∠ABC=3∠C，

∴3∠C=∠C+2∠FBC，

∴∠FBC=∠C，

∴BF=CF，

∴BE=CF，

∵CF=AC－AF=AC－AB,

∴BE=CF=（AC－AB）.