Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BD是△ABC的角平分線.

（1）如圖1，若AD=BD，求∠A的度數；

（2）如圖2，在（1）的條件下，作DE⊥AB于E，連接EC.求證：△EBC是等邊三角形.

Answer 1

【答案】(1) 30°;(2)見解析.

【解析】

（1）根據題意易證∠A=∠DBA=∠DBC，然后利用三角形的內角和進行求解即可；

（2）根據等腰三角形的性質可得AE=BE，根據直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半可得CE=BE，然后根據等邊三角形的判定即可得證.

（1）解：∵AD=BD，

∴∠A=∠DBA，

∵∠DBA=∠DBC，

∴∠A=∠DBA=∠DBC，

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠DBA+∠DBC=90°，

∴∠A=30°；

（2）證明：∵AD=BD，DE⊥AB，

∴AE=BE，

∴CE=BE，

∵∠A=30°，

∴∠EBC=60°，

∴△EBC是等邊三角形.