Question

【題目】數學活動課上，勵志學習小組對有一內角為120°的平行四邊形ABCD（∠BAD=120°）進行探究：將一塊含60°的直角三角板如圖放置在平行四邊形ABCD所在平面內旋轉，且60°角的頂點始終與點C重合，較短的直角邊和斜邊所在的兩直線分別交線段AB，AD于點E，F（不包括線段的端點）．

（1）初步嘗試

如圖1，若AD=AB，求證：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；

（2）類比發現

如圖2，若AD=2AB，過點C作CH⊥AD于點H，求證：AE=2FH；

在證明這道題時，勵志學習小組成員小穎同學進行如下書寫，請你將此證明過程補充完整

證明:設DH=x，由由題意，CD=2x，CH=x，

∴AD=2AB=4x，

∴AH=AD﹣DH=3x，

∵CH⊥AD，

∴AC==2x，

（3）深入探究

在（2）的條件下，勵志學習小組成員小漫同學探究發現，試判斷小漫同學的結論是否正確，并說明理由

Answer 1

【答案】（1）①見解析，②見解析；（2）見解析；（3）正確

【解析】（1）先證△ABC，△ACD都是等邊三角形，再證△BCE和△ACF全等即可；

（2）先證△ACE∽△HCF，再利用相似三角形的性質即可得出答案；

（3）利用（2）中證得的結論利用等量代換即可得出答案.

解：（1）①∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°，

∵AD=AB，

∴△ABC，△ACD都是等邊三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠ECF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中，

，

∴△BCE≌△ACF．

②∵△BCE≌△ACF，

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．

（2）∴AC2+CD2=AD2，

∴∠ACD=90°，

∴∠BAC=∠ACD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACH=60°，

∵∠ECF=60°，

∴∠HCF=∠ACE，

∴△ACE∽△HCF，

∴=2，

∴AE=2FH．

(3)結論正確

如圖2中，由（2）可知，設，則，設，則，易知，∴，∴.