Question

（2006•鄂爾多斯）如圖，點P在y軸上，⊙P交x軸于A，B兩點，連接BP并延長交⊙P于C，過點C的直線y=2x+b交x軸于D，且⊙P的半徑為，AB=4．
（1）求點B，P，C的坐標；
（2）求證：CD是⊙P的切線；
（3）若二次函數y=-x²+（a+1）x+6的圖象經過點B，求這個二次函數的解析式，并寫出使二次函數值小于一次函數y=2x+b值的x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接CA，構造直角三角形，運用勾股定理，求出各線段的長，進而求出B，P，C的坐標；
（2）根據一次函數圖象上點的坐標特征，求出對應線段的長，證明△DAC≌△POB，然后得到∠DCA=∠ABC，再根據直角三角形的性質求出∠DCA+∠ACB=90°，利用切線判定定理即可解答；
（3）把點B代入y=-x²+（a+1）x+6即可求出a的值，進而求出函數解析式；求出兩函數圖象交點，由圖可得結論．
解答：（1）解：如圖，連接CA．
∵OP⊥AB，
∴OB=OA=2．（1分）
∵OP²+BO²=BP²
∴OP²=5-4=1，OP=1．（2分）
∵BC是⊙P的直徑，
∴∠CAB=90°．（也可用勾股定理求得下面的結論）
∵CP=BP，OB=OA，
∴AC=2OP=2．（3分）
∴B（2，0），P（0，1），C（-2，2）．（寫錯一個不扣分）（4分）

（2）證明：∵y=2x+b過C點，
∴b=6∴y=2x+6．（5分）
∵當y=0時，x=-3，
∴D（-3，0）．
∴AD=1．（6分）
∵OB=AC=2，AD=OP=1，∠CAD=∠POB=90°，
∴△DAC≌△POB．
∴∠DCA=∠ABC．
∵∠ACB+∠CBA=90°，
∴∠DCA+∠ACB=90°．（也可用勾股定理逆定理證明）（7分）
∴DC是⊙P的切線．（8分）

（3）解：∵y=-x²+（a+1）x+6過B（2，0）點，
∴0=-2²+（a+1）×2+6．
∴a=-2．（9分）
∴y=-x²-x+6．（10分）
因為函數y=-x²-x+6與y=2x+6的圖象交點是（0，6）和點D（-3，0）（畫圖可得此結論）（11分）
所以滿足條件的x的取值范圍是x＜-3或x＞0．（12分）
點評：本題是一道較為常規的綜合壓軸題，綜合性較強，解第3小題時可以借助函數圖象來很明了快捷地得出結論．