Question

如圖，BD是⊙O的直徑，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)D作OA的平行線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)C，AC與BD的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)E．
（1）試探究A E與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（2）已知EC=a，ED=b，AB=c，請(qǐng)你思考后，選用以上適當(dāng)?shù)臄?shù)據(jù)，設(shè)計(jì)出計(jì)算⊙O的半徑r的一種方案：①你選用的已知數(shù)是

 

；②寫(xiě)出求解過(guò)程．（結(jié)果用字母表示）

Answer 1

分析：要證明AE與⊙O相切，只要證明OC⊥AC就可以；由CD∥OA，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理得到

a

c

=

b

r

，得r=

bc

a

解答：解：（1）AE與⊙O相切．（1分）
理由：連接OC，
∵CD∥OA，
∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB．
又∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠AOB=∠AOC．
∵OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC，
∴△AOC≌△AOB（SAS）．
∴∠ACO=∠ABO．
∵AB與⊙O相切，
∴∠ACO=∠ABO=90°．
∴OC⊥AE
∴AE與⊙O相切．（5分）

（2）①選擇a、b、c，或其中2個(gè)．
②解答舉例：
若選擇a、b、c
方法一：由CD∥OA，

a

c

=

b

r

，得r=

bc

a

．
方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理（b+2r）²+c²=（a+c）²，
得r=

a2+2ac -b

2

．
方法三：由Rt△OCE∽R(shí)t△ABE，

a

r

=

b+2r

c

，得r=

-b+ b2+8ac

4

．
若選擇a、b
方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a²+r²=（b+r）²，得r=

a2-b2

2b

；
方法二：連接BC，由△DCE∽△CBE，得r=

a2-b2

2b

．
若選擇a、c；需綜合運(yùn)用以上多種方法，得r=

c a2+2ac

a+2c

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線(xiàn)的判定．要證某線(xiàn)是圓的切線(xiàn)，已知此線(xiàn)過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．