Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象過點C（0，1），頂點為Q（2，3），點D在x軸正半軸上，且OD=OC．

（1）求直線CD的解析式；
（2）求拋物線的解析式；
（3）將直線CD繞點C逆時針方向旋轉45°所得直線與拋物線相交于另一點E，求證：△CEQ∽△CDO；
（4）在（3）的條件下，若點P是線段QE上的動點，點F是線段OD上的動點，問：在P點和F點移動過程中，△PCF的周長是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵C（0，1），OD=OC，∴D點坐標為（1，0）。
設直線CD的解析式為y=kx+b（k≠0），
將C（0，1），D（1，0）代入得：，解得：。
∴直線CD的解析式為：y=﹣x+1。
（2）設拋物線的解析式為y=a（x﹣2）²+3，
將C（0，1）代入得：1=a×（﹣2）²+3，解得a=。
∴y=（x﹣2）²+3=x²+2x+1。
（3）證明：由題意可知，∠ECD=45°，
∵OC=OD，且OC⊥OD，∴△OCD為等腰直角三角形，∠ODC=45°。
∴∠ECD=∠ODC，∴CE∥x軸。
∴點C、E關于對稱軸（直線x=2）對稱，
∴點E的坐標為（4，1）。
如答圖①所示，設對稱軸（直線x=2）與CE交于點F，

則F（2，1）。
∴ME=CM=QM=2。
∴△QME與△QMC均為等腰直角三角形。
∴∠QEC=∠QCE=45°。
又∵△OCD為等腰直角三角形，
∴∠ODC=∠OCD=45°。
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°。∴△CEQ∽△CDO。
（4）存在。
如答圖②所示，作點C關于直線QE的對稱點C′，作點C關于x軸的對稱點C″，連接C′C″，交OD于點F，交QE于點P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，由軸對稱的性質可知，△PCF的周長等于線段C′C″的長度。
（證明如下：不妨在線段OD上取異于點F的任一點F′，在線段QE上取異于點P的任一點P′，連接F′C″，F′P′，P′C′．
由軸對稱的性質可知，△P′CF′的周長=F′C″+F′P′+P′C′。
而F′C″+F′P′+P′C′是點C′，C″之間的折線段，
由兩點之間線段最短可知：F′C″+F′P′+P′C′＞C′C″，即△P′CF′的周長大于△PCE的周長。）
如答圖③所示，連接C′E，

∵C，C′關于直線QE對稱，△QCE為等腰直角三角形，
∴△QC′E為等腰直角三角形。
∴△CEC′為等腰直角三角形。
∴點C′的坐標為（4，5）。
∵C，C″關于x軸對稱，∴點C″的坐標為（﹣1，0）。
過點C′作C′N⊥y軸于點N，則NC′=4，NC″=4+1+1=6，
在Rt△C′NC″中，由勾股定理得：
。
綜上所述，在P點和F點移動過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為。

解析