Question

如圖1，在同一平面內，將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為4．若△ABC固定不動，△AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E（點D不與點B重合，點E不與點C重合），設BE=a，CD=b．
（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明；
（2）求a•b的值；
（3）在旋轉過程中，當△AFG旋轉到如圖2的位置時，AG與BC交于點E，AF的延長線與CB的延長線交于點D，那么a•b的值是否發生了變化？為什么？

Answer 1

分析：（1）△ADE∽△ABE；△ACD∽△ABE．由于∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，那么∠BAE=∠CDA，而∠B=∠C=45°，易證△ABE∽△DCA，由于D在BC上，且D點與B點不重合，那么△ADE不≌△ABE，同理可證△ADE∽△ABE；
（2）由于斜邊長是4，根據勾股定理易求直角邊等于2

2

，由（1）知△ACD∽△ABE，利用比例線段可求a•b的值；
（3）不變．由于∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，易得∠BEA=∠CAD，而∠ABE=∠DCA=45°，可證△EBA∽△ACD，利用比例線段可求BE•CD=AB•AC，而根據題意知AB=AC=2

2

，從而可求BE•CD的值，可得不變的結論．

解答：解：（1）△ADE∽△ABE；△ACD∽△ABE．
下面進行證明△ACD∽△ABE，
∵∠FAG=∠ACB=45°，
∴∠BAE=∠BAD+45°，∠CDA=∠BAD+45°，
∴∠BAE=∠CDA，
又∵∠B=∠C=45°，
∴△ABE∽△DCA，
由于D在BC上，且D點與B點不重合，
∴△ADE不≌△ABE；
同理可得△ADE∽△ABE；

（2）∵△ACD∽△ABE，
∴

BE

CA

=

BA

CD

，
由依題意，可知：CA=BA=2

2

，
∴

a

2 2

=

2 2

b

，
∴a•b=8；

（3）不變．
∵∠BEA=∠EAC+45°，∠CAD=45°+∠EAC，
∴∠BEA=∠CAD，
又∵∠ABE=∠DCA=45°，
∴△EBA∽△ACD，
∴

BE

AB

=

AC

DC

，
∴BE•CD=AB•AC=2

2

×2

2

=8．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質．解題的關鍵是利用三角形外角的性質，證明∠BAE=∠CDA，∠BEA=∠CAD．