Question

【題目】如圖，已知：在平面直角坐標(biāo)系中，直線l與y軸相交于點(diǎn)A（0，m）其中m＜0，與x軸相交于點(diǎn)B（4，0）．拋物線y=ax2+bx（a＞0）的頂點(diǎn)為F，它與直線l相交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸分別與直線l和x軸相交于點(diǎn)D和點(diǎn)E．

（1）設(shè)a=，m=﹣2時(shí)，

①求出點(diǎn)C、點(diǎn)D的坐標(biāo)；

②拋物線y=ax2+bx上是否存在點(diǎn)G，使得以G、C、D、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？如果存在，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

（2）當(dāng)以F、C、D為頂點(diǎn)的三角形與△BED相似且滿足三角形FAC的面積與三角形FBC面積之比為1：3時(shí)，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】（1）①（2，﹣1）②（3，﹣ ）（2）y=x2﹣4x

【解析】試題分析：（1）①根據(jù)待定系數(shù)法，可得拋物線的解析式，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)；根據(jù)解方程組，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得D點(diǎn)坐標(biāo)；

②根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得G點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形的判定，可得答案；

（2）根據(jù)待定系數(shù)法，可得b與a的關(guān)系，根據(jù)配方法，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)平行線分線段成比例，可得OH的長，根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得∠FCD=90°，根據(jù)相思三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)拋物線的開口向上，可得a的值．

試題解析：（1）①如圖1，

，

當(dāng)a=時(shí)，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入，得y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣2）；

當(dāng)m=﹣2時(shí)，一次函數(shù)的解析式為y=x﹣2．

聯(lián)立拋物線與直線，得

2﹣2x=x﹣2，

解得x=1，當(dāng)x=1時(shí)，y=﹣，即C點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣）．

當(dāng)x=2時(shí)，y=﹣1，即D點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1）；

②假設(shè)存在G點(diǎn)，使得以G、C、D、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

則CG與DF互相平分，而EF是拋物線的對(duì)稱軸，且點(diǎn)G在拋物線上

∴CG⊥DF，

∴DCFG是菱形，

∴點(diǎn)C關(guān)于EF的對(duì)稱點(diǎn)G（3，﹣ ）．

設(shè)DF與CG與DF相交于O′點(diǎn)，則DO′=O′F=，CO′=O′G=1，

∴四邊形DCFG是平行四邊形．

∴拋物線y=ax2+bx上存在點(diǎn)G，使得以G、C、D、F四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，點(diǎn)G的坐標(biāo)為（3，﹣ ）；

（2）如圖2，

，

∵拋物線y=ax2+bx的圖象過（4，0）點(diǎn)，16a+4b=0，

∴b=﹣4a．

∴y=ax2+bx=ax2﹣4ax=a（x﹣2）2﹣4a的對(duì)稱軸是x=2，

∴F點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣4a）．

∵三角形FAC的面積與三角形FBC面積之比為1：3，

BC：AC=3：1．

過點(diǎn)C作CH⊥OB于H，過點(diǎn)F作FG∥OB，FG與HC交于G點(diǎn)．

則四邊形FGHE是矩形．

由HC∥OA，得BC：AC=3：1．

由HB：OH=3：1，OB=4，OE=EB，得

HE=1，HB=3．

將C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入y=ax2﹣4ax，得y=﹣3a．

∴C（1，﹣3a），∴HC=3a，又F（2，﹣4a）．

∴GH=4a，GC=a．

在△BED中，∠BED=90°，若△FCD與△BED相似，則△FCD是直角三角形

∵∠FDC=∠BDE＜90°，∠CFD＜90°，

∴∠FCD=90°．

∴△BHC∽△CGF，

∴，

∴，

∴a2=1，

∴a=±1．

∵a＞0，

∴a=1．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣4x．