Question

【題目】如圖1，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，過點(diǎn)作交于，連接．

圖1 圖2

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上移動時，折痕的端點(diǎn)，也隨之移動；

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時（如圖2），求菱形的邊長；

②若限定，分別在邊，上移動，則點(diǎn)在邊上移動的最大距離是_______．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②點(diǎn)在邊上移動的最大距離為

【解析】

（1）由折疊的性質(zhì)得出，，，由平行線的性質(zhì)得出，證出，得出，因此，即可得出結(jié)論；

（2）①由矩形的性質(zhì)得出，，，由對稱的性質(zhì)得出，在中，由勾股定理求出，得出；在中，由勾股定理得出方程，解方程得出即可；

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)離點(diǎn)最近，由①知，此時；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)離點(diǎn)最遠(yuǎn)，此時四邊形為正方形，，即可得出答案．

（1）證明：折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，

，，．

又，

，，

，，

四邊形為菱形．

（2）解：①四邊形是矩形，

，，．

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對稱，

．

在中，

，

．

在中，

，，

．

解得，．

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)離點(diǎn)最近，如圖，由①知，此時．

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，點(diǎn)離點(diǎn)最遠(yuǎn)，如下圖：此時四邊形為正方形，，

點(diǎn)在邊上移動的最大距離為．