Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（－1,0），點B的坐標為（4，0），經過點A點B拋物線y＝x＋bx＋c與y軸交于點C.

（1）求拋物線的關系式.

（2）△ABC的外接圓與y軸交于點D，在拋物線上是否存在點M使S△MBC＝S△DBC,若存在，請求出點M的坐標.

（3）點P是直線y＝－x上一個動點，連接PB,PC,當PB＋PC＋PO最小時，求點P的坐標及其最小值.

Answer 1

【答案】（1）拋物線關系式：y＝x－3x－4；（2）點M（5,6）（3）P（2－， －2）

【解析】試題分析：（1）用代入法直接求函數解析式；（2）存在，連接AD，過點D做直線l∥BC，則求出直線l的關系式為：y＝x＋1，再求它與的交點坐標，即可；（3）把△BPO繞點B順時針旋轉60°得△BFE，連接FP得等邊△BFP， 則PB＋PC＋PO＝PC＋PF＋FE，所以連接EC與直線y＝－x交于點P，則點P即為所求. 先求出直線EC關系式為:y＝(＋2)x－4，再聯立y＝－x得出P的坐標即可；

試題解析：

(1)把點A（－1,0），點B（4，0）代入y＝x＋bx＋c得：

解得：

∴0拋物線關系式：y＝x－3x－4

(2)連接AD，

把x＝0代入y＝x＋bx＋c得y＝－4.

∴OC＝OB＝4.

∴∠ABC＝45°.

∴∠ADC＝45°

∵OA＝1，

∴OD＝1

過點D做直線l∥BC，則直線l的關系式為：y＝x＋1

聯立拋物線關系式得：

解得

∴點M（5,6）

(3)把△BPO繞點B順時針旋轉60°得△BFE，

連接FP得等邊△BFP，

∴PB＋PC＋PO＝PC＋PF＋FE

∴連接EC與直線y＝－x交于點P，則點P即為所求.

在等邊△OBE中

∵OB＝4

∴點E(2, )

又∵點C(0,－4)

∴直線EC關系式為:y＝(＋2)x－4

聯立y＝－x得

點P（2－， －2）