Question

“等腰三角形的頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”的定理是將“等腰三角形”作為一個不變的已知條件參與組合得到的三個真命題，在學習了等腰三角形的判定后，可將該定理作如下的引伸．
如圖，已知△ABC，①AB=AC  ②∠1=∠2 ③AD⊥BC ④BD=DC中，若其中任意兩組成立，可推出其余兩組成立．
顯然以上六個命題中，有三個就是“等腰三角形的三線合一定理”，而其它三個是否成立，請你證明其中一個．（注意此題的得分要依題目本身證明的難易而定，請你選擇）
已知：

 

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求證：

 

；
證明：

 

．

Answer 1

分析：（1）選擇②∠1=∠2，④BD=DC，證明①AC=AB．延長AD至E，使DE=AD，連接CE．通過證明△ABD≌△ECD，得出∠E=∠2，從而得證；
（2）選擇①AB=AC  ②∠1=∠2，證明③AD⊥BC．根據等腰三角形的三線合一定理即可得證．

解答：證明：（1）延長AD至E，使DE=AD，連接CE．
在△ABD和△ECD中

AD=ED ∠3=∠4 BD=CD

∴△ABD≌△ECD（SAS）…（2分）
∴AB=EC，∠1=∠E
∵∠1=∠2，
∴∠E=∠2
∴CE=AC=AB…（4分）

（2）∵AB=AC，∠1=∠2，
∴AD⊥BC．…（5分）
（注：此題采用本證法的得（5分），否則滿分為4分）

點評：考查了全等三角形的判定與性質，等腰三角形的三線合一定理，本題是開放性試題．