Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AB=AC，點E、F、G分別在邊BC、CD上，BE=CG，AF平分∠EAG，點H是線段AF上一動點(與點A不重合)．

(1)求證:△AEH≌△AGH；

(2)當AB=12，BE=4時：

①求△DGH周長的最小值；

②若點O是AC的中點，是否存在直線OH將△ACE分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1:3．若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①；②存在，或

【解析】

（1）證明△ABE≌△ACG得到AE=AG，再結合角平分線，即可利用SAS證明△AEH≌△AGH；

（2）①根據題意可得點E和點G關于AF對稱，從而連接ED，與AF交于點H，連接HG，得到△DGH周長最小時即為DE+DG，構造三角形DCM進行求解即可；

②分當OH與AE相交時，當OH與CE相交時兩種情況分別討論，結合中位線，三角形面積進行求解即可.

解：（1）∵四邊形ABCD為菱形，

∴AB=BC，

∵AB=AC，

∴△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠ACB=∠ACD=60°，

∵BE=CG，AB=AC，

∴△ABE≌△ACG，

∴AE=AG，

∵AF平分∠EAG，

∴∠EAH=∠GAH，

∵AH=AH，

∴△AEH≌△AGH；

（2）①如圖，連接ED，與AF交于點H，連接HG，

∵點H在AF上，AF平分∠EAG，且AE=AG，

∴點E和點G關于AF對稱，

∴此時△DGH的周長最小，

過點D作DM⊥BC，交BC的延長線于點M，

由（1）得：∠BCD=∠ACB+∠ACD=120°，

∴∠DCM=60°，∠CDM=30°，

∴CM=CD=6，

∴DM=，

∵AB=12=BC，BE=4，

∴EC=DG=8，EM=EC+CM=14，

∴DE==DH+EH=DH+HG，

∴DH+HG+DG=

∴△DGH周長的最小值為；

②當OH與AE相交時，如圖，AE與OH交于點N，

可知S△AON：S四邊形HNEF=1:3，

即S△AON：S△AEC=1:4，

∵O是AC中點，

∴N為AE中點，此時ON∥EC，

∴，

當OH與EC相交時，如圖，EC與OH交于點N，

同理S△NOC：S四邊形ONEA=1:3，

∴S△NOC：S△AEC=1:4，

∵O為AC中點，

∴N為EC中點，則ON∥AE，

∴，

∵BE=4，AB=12，

∴EC=8，EN=4，

過點G作GP⊥BC，交BNC延長線于點P，

∵∠BCD=120°，

∴∠GCP=60°，∠CGP=30°，

∴CG=2CP，

∵CG=BE=4，

∴CP=2，GP=，

∵AE=AG，AF=AF，∠EAF=∠GAF，

∴△AEF≌△AGF，

∴EF=FG，

設EF=FG=x，則FC=8-x，FP=10-x，

在△FGP中，，

解得：x=，

∴EF=，

∴，

綜上：存在直線OH，的值為或.