Question

已知點(diǎn)A（-1，-1）在拋物線y=（k²-1）x²-2（k-2）x+1上，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，
（1）求k的值和點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）是否存在與此拋物線僅有一個公共點(diǎn)B的直線？如果存在，求出符合條件的直線的解析式；如果不存在，簡要說明理由．

Answer 1

分析：（1）將A點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得k的值；從而確定拋物線的解析式和對稱軸方程，根據(jù)A、B關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，即可得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，可考慮兩種情況：
①此直線存在斜率時，可設(shè)出直線的解析式為y=mx+n，然后將B點(diǎn)坐標(biāo)代入此直線的解析式中即可得到m、n的關(guān)系式；聯(lián)立拋物線的解析式，消去y后可得到關(guān)于x的方程，若兩函數(shù)只有一個交點(diǎn)，那么方程的△=0，可得到另一個關(guān)于m、n的關(guān)系式，聯(lián)立兩式即可求出m、n的值，由此確定該直線的解析式；
②此直線與y軸平行且經(jīng)過點(diǎn)B，此時直線沒有斜率，根據(jù)B點(diǎn)的坐標(biāo)即可得到直線的解析式．

解答：解：（1）根據(jù)題意，將x=-1，y=-1，代入拋物線的解析式，得
（k²-1）×（-1）²-2（k-2）×（-1）+1=-1
解得k₁=1，k₂=-3．
由于k²-1≠0，所以k=-3．
拋物線的解析式是y=8x²+10x+1，
對稱軸為直線x=-

5

8

，
∵點(diǎn)B和點(diǎn)A（-1，-1）關(guān)于直線x=-

5

8

對稱，
∴B（-

1

4

，-1）．

（2）存在．
理由如下：
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)B的直線的解析式是y=mx+n，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入得m-4n=4．①
又∵要使直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，
只要使方程mx+n=8x²+10x+1有兩個相等的實(shí)數(shù)根，
方程mx+n=8x²+10x+1
整理得，8x²+（10-m）x+1-n=0，
得△=（10-m）²-32（1-n）=0②
將①代②，解出，m=6，n=

1

2

，
則它的解析式是y=6x+

1

2

．
又有過點(diǎn)B，平行于y軸的直線與拋物線僅有一個公共點(diǎn)，
即x=-

1

4

．
答：直線的解析式y(tǒng)=6x+

1

2

或x=-

1

4

．

點(diǎn)評：此題主要考查了一次函數(shù)與二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法；要注意的是（2）題中，一條直線與拋物線只有一個交點(diǎn)時，可以有兩種情況（①經(jīng)過交點(diǎn)且與y軸平行；②不與y軸平行，聯(lián)立拋物線解析式所得方程只有一個實(shí)數(shù)根），不要漏解．