Question

如圖，一次函數(shù)y=x+2的圖象分別交軸、軸于A、B兩點(diǎn)，O₁為以O(shè)B為邊長的正方形OBCD的對角線的交點(diǎn)．兩動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)在四邊形ABCD上運(yùn)動(dòng)，其中動(dòng)點(diǎn)P以每秒

2

個(gè)單位長度的速度沿A→B→A運(yùn)動(dòng)后停止，動(dòng)點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長度的速度沿A→O→D→C→B運(yùn)動(dòng)．AO₁交于軸于點(diǎn)E，設(shè)P、Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（2）求出E點(diǎn)的坐標(biāo)和S_△ABE的值；
（3）當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)在折線AD→DC上時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t（秒），使得S_△ABE：S_△APQ=4：3？若存在，請確定t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)即可求得C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)待定系數(shù)法求得直線AO₁的解析式，求出E的坐標(biāo)，根據(jù)三角形的面積公式即可求得三角形的面積；
（3）分0≤t≤2，2＜t≤3，兩種情況進(jìn)行討論，利用相似三角形的性質(zhì)，即可求解．

解答：解：（1）在y=x+2中，令y=0，則x=-2．令x=0，則y=2，
∴A（-2，0），B（0，2），
∴BO=2，
∴OD=2，
∴C（2，2）．
設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
則

c=2 4a+2b+c=2 4a-2b+c=-2

∴

a=- 1 4 b= 1 2 c=2

∴函數(shù)的解析式是：y=-

1

4

x²+

1

2

x+2；

（2）設(shè)直線AO的解析式為y=kx+m，
∵A（-2，0），O₁（1，1），
∴

-2k+m=0 k+m=1

∴

k= 1 3 m= 2 3

∴y=

1

3

x+

2

3

∴E的坐標(biāo)是（0，

2

3

）；
∴BE=BO-EO=2-

2

3

=

4

3

．
∴S_△ABE=

1

2

BE•AO=

1

2

×

4

3

×2=

4

3

．

（3）當(dāng)0≤t≤2時(shí)，Q在AD上，P從A到B運(yùn)動(dòng)．
過P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，
則AQ=2t，AP=

2

t，
∴AH=PH=t，
∴S_△APQ=

1

2

AQ•PH=

1

2

•2t•t=t²．
∵S_△ABE：S_△APQ=4：3，
∴S_△APQ=1，
∴t²=1．
∵0≤t≤2，
∴t=1．
當(dāng)2＜t≤3時(shí)，Q在DC上，P從B向A運(yùn)動(dòng)．延長AB、DC交于點(diǎn)F．
過Q作QM⊥AF于M，則∠F=∠BAD=45°，
∴MQ=

2

2

QF．
∵DQ=2t-4，DF=AD=4，
∴QF=4-DQ=8-2t，
∴QM=

2

2

（8-2t）．
又AP=2AB-

2

t=4

2

-

2

t，
∴S_△APQ=

1

2

AP•QM=

1

2

（4

2

-

2

t）•

2

2

（8-2t）=1
∴（4-t）²=1，
∵2＜t≤3，
∴4-t=1，
∴t=3，
故當(dāng)t=1和3時(shí)，S_△ABE：S_△APQ=4：3．

點(diǎn)評：用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，是常用的一種解題方法．