Question

已知拋物線y=ax²+bx﹣1經過點A（-1，0）、B（m，0）（m＞0），且與y軸交于點C。
（1）求拋物線對應的函數表達式（用含m的式子表示）；
（2）如圖，⊙M經過A、B、C三點，求扇形MBC（陰影部分）的面積S（用含m的式子表示）；
（3）若拋物線上存在點P，使得△APB∽△ABC，求m的值。

Answer 1

解：（1）∵點（﹣1，0）、（m，0）在拋物線y=ax2+bx﹣1上 ∴， 解得 ∴拋物線對應的函數表達式為：； （2）在拋物線對應的函數表達式中，令x=0，得y=﹣1， ∴點C坐標為（0，﹣1） ∴OA=OC， ∴∠OAC=45°， ∴∠BMC=2∠OAC=90° 又∵BC=， ∴MB=MC=BC ∴； （3）如圖，∵△ABC∽△APB， ∴∠PAB=∠BAC=∠45°， 過點P作PD⊥x軸，垂足為D，連接PA、PB 在Rt△PDA中， ∵∠PAB=∠APD=45°， ∴PD=AD 設點P坐標為（x，x+1）， ∵點P在拋物線上 ∴， 即x2+（1﹣2m）x﹣2m=0， 解得x1=﹣1，x2=2m， ∴P1（2m，2m+1），P2（﹣1，0）（不合題意，舍去） 此時AP=PD=（2m+1）， 又由，得AC·AP=AB2 則（2m+1）=（m+1）2， 整理，得m2﹣2m﹣1=0 解得（舍去）， m的值是m=（只取正值）。