Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥軸于點C，A，B．動點P從O點出發，沿軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設點移動的時間為秒，△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．

【小題1】求經過O、A、B三點的拋物線解析式；
【小題2】求S與t的函數關系式；
【小題3】將△OPQ繞著點逆時針旋轉90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點為O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】法一：由圖象可知：拋物線經過原點，
設拋物線解析式為．
把A（1，-1），B（3，-1）代入上式得：
 解得：
∴所求拋物線解析式為
法二：∵A（1，-1），B（3，-1），
∴拋物線的對稱軸是直線．
設拋物線解析式為（）
把O，A（1，-1）代入得
   解得
∴所求拋物線解析式為
【小題1】分四種情況：
①當，重疊部分的面積是，過點作軸于點，
∵A（1，-1），在中，，，
在中，，，                              
∴，       ∴
．
②當，設交于點，作軸于點，
，則四邊形是等腰梯形，
重疊部分的面積是．
∴，
∴．

③當，設與交于點，交于點，
重疊部分的面積是．
因為和都是等腰直角三角形，
所以重疊部分的面積是．
∵B（3，-1），，
∴，
∴，
∴
     
4當時，重疊部分的面積就是梯形OABC的面積= 
【小題1】存在    ， 解析:
本題是二次函數的一道綜合題，（1）（2）求點的坐標和函數解析式，是常見題型，（3）需要綜合考慮，有一定難度。