Question

如圖（1），形如三角板的△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=45°，BC=12cm，形如矩形量角器的半圓O的直徑DE=12cm，矩形DEFG的寬EF=6cm，矩形量角器以2cm/s的速度從 左向右運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)D、E始終在BC所在的直線上，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（s），矩形量角器和△ABC的重疊部分的面積為S（cm²）．當(dāng)x=0（s）時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)C重合．
（1）當(dāng)x=3時(shí)，如圖（2），S=

36

cm²，當(dāng)x=6時(shí)，S=

54

cm²，當(dāng)x=9時(shí)，S=

18

cm²；
（2）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當(dāng)x為何值時(shí)，△ABC的斜邊所在的直線與半圓O所在的圓相切？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意畫圖圖形，然后由矩形的面積公式或者進(jìn)行計(jì)算；
（2）當(dāng)3＜x＜6時(shí)，重疊部分是不規(guī)則的四邊形，不能直接用x表示，要采用面積的分割法來求，先求S_△ABC，S_△AMN，再求S_△BEH，然后求重疊部分的面積；當(dāng)6＜x＜9時(shí)，重疊部分也是不規(guī)則的四邊形，也采用面積的分割法來求，先求S_△ABC，S_△AHM，再求S_{四邊形HGDC}，這樣才能求出S與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）切點(diǎn)在線段AB上，利用切線的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答．

解答：解：（1）當(dāng)x=3時(shí)，CE=6cm．如圖2所示，則S=CE•EF=6×6=36（cm²）；
當(dāng)x=6時(shí)，CE=12cm．如圖3所示，易證GH是△ACB的中位線，陰影部分為四邊形GHBD，四邊形GHBD為直角梯形，則
S=

GH+CE

2

×GD=

6+12

2

×6=54（cm²）
當(dāng)x=9時(shí)，CE=18cm．如圖4所示，易證陰影部分△GDO是等腰直角三角形，則S=

1

2

OD•GD=

1

2

×6×6=18（cm²）．
故答案分別是：36；54；18；

（2）①如圖5，設(shè)矩形DEFG與斜邊AB的交點(diǎn)分別為N、H，與直角邊AC的交點(diǎn)為M；
∵BE=12-2x，AM=12-6=6，
∴S=S_△ABC-S_△AMN-S_△BHE=

1

2

×12×12-

1

2

×6×6-

1

2

×（12-2x）²=-2x²+24x-18，
∴當(dāng)3＜x＜6時(shí)，S=-2x²+24x-18．
②如圖6，設(shè)矩形DEFG與斜邊AB的交點(diǎn)為M，延長(zhǎng)FG交AC于點(diǎn)H；
∵AH=12-6=6，HG=2x-12，
∴S=S_△ABC-S_△AHM-S_矩形HCDG=

1

2

×12×12-

1

2

×6×6-

1

2

×6×（2x-12）=-12x+126，
∴當(dāng)6＜x＜9時(shí)，S=-12x+126．
綜上所述，S=

-2x2+24x-18(3＜x＜6) -12x+126(6＜x＜9)

；

（3）如圖7，過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)P，由題意得OP=6cm；
∵∠ABC=45°，∠OPB=90°，
∴OB=

2

OP=6

2

cm，
∴x=

6+12-6 2

2

=9-3

2

（s）；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題．解題時(shí)，把求函數(shù)關(guān)系式與三角形的有關(guān)知識(shí)有機(jī)結(jié)合起來，綜合性比較強(qiáng)．對(duì)于這類動(dòng)點(diǎn)問題，一定要分類討論，以防漏解或錯(cuò)解．