Question

問題：如圖（1）在菱形ABCD和菱形BEFG中，點A，B，E在同一直線上，P是線段DF的中點，連接PG，PC，若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG與PC的位置關系及

PG

PC

的值，小聰同學的思路是延長GP交DC于點H，構造全等三角形，經過推理使問題得到解決．請你參考小聰同學的思路，探究并解決下列問題：

（1）寫出上面問題中線段PG與PC的位置關系及

PG

PC

的值．
（2）將圖（1）中的菱形BEFG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一直線上，原問題中的其它條件不變（如圖（2））你在（1）中得到的兩個結論是否發生變化？寫出你的猜想，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知小聰的思路為，通過判定三角形DHP和PGF為全等三角形來得出證明三角形HCG為等腰三角形且P為底邊中點的條件；
（2）思路同上，延長GP交AD于點H，連接CH，CG，本題中除了如（1）中證明△GFP≌△HDP（得到P是HG中點）外還需證明△HDC≌△GBC（得出三角形CHG是等腰三角形）．

解答：解：（1）延長GP，交CD于點H，
∵四邊形ABCD與四邊形BEFG是菱形，
∴CD∥AB∥GF，
∴∠PDH=∠PFG，∠DHP=∠PGF，
∵P是線段DF的中點，
∴DP=PF，
在△DPH和△FGP中，

∠PDH=∠PFG ∠DHP=∠PGF DP=PF

，
∴△DPH≌△FGP（AAS），
∴PH=PG，DH=GF，
∵CD=BC，GF=GB=DH，
∴CH=CG，
∴CP⊥HG，∠ABC=60°，
∴∠DCG=120°，
∴∠PCG=60°，
∴PG：PC=tan60°=

3

，
∴線段PG與PC的位置關系是PG⊥PC，

PG

PC

=

3

；

（2）猜想：（1）中的結論沒有發生變化．
證明：如圖（2），延長GP交AD于點H，連接CH，CG，
∵P是線段DF的中點，
∴FP=DP，
∵AD∥GF，
∴∠HDP=∠GFP，
∵∠GPF=∠HPD，
∴△GFP≌△HDP（ASA），
∴GP=HP，GF=HD，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴CD=CB，∠HDC=∠ABC=60°，
∵∠ABC=∠BEF=60°，菱形BEFG的對角線BF恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，
∴∠GBF=60°，
∴∠HDC=∠GBF，
∵四邊形BEFG是菱形，
∴GF=GB，
∴HD=GB，
∴△HDC≌△GBC，
∴CH=CG∠HCD=∠GCB，
∴PG⊥PC（到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上）
∵∠ABC=60°
∴∠DCB=∠HCD+∠HCB=120°，
∵∠HCG=∠HCB+∠GCB，
∴∠HCG=120°，
∴∠GCP=60°，
∴

PG

PC

=tan∠GCP=tan60°=

3

．

點評：此題考查了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及三角函數的定義．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．