Question

（2008•岳陽）如圖，點E（-4，0），以點E為圓心，2為半徑的圓與x軸交于A、B兩點，拋物線y=x²+bx+c過點A和點B，與y軸交于C點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）求出點C的坐標，并畫出拋物線的大致圖象；
（3）點Q（m，）（m＜0）在拋物線y=x²+bx+c的圖象上，點P為此拋物線對稱軸上的一個動點，求PQ+PB的最小值；
（4）CF是圓E的切線，點F是切點，在拋物線上是否存在一點M，使△COM的面積等于△COF的面積？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意可得點A，B的坐標，將點A，B的坐標代入二次函數的解析式即可求得；
（2）拋物線與y軸的交點橫坐標為0，代入求得縱坐標，可得點C的坐標，求得頂點坐標，對稱軸即可畫草圖；
（3）根據兩點之間線段最短可得：Q（m，），∴=m²+m+2整理為m²+8m-20=0，即m₁=2，m₂=-10．因m＜0，則m=-10，∴Q（-10，）．∵y=（x+4）²-，又∵A（-2，0）與B（-6，0）關于x=-4對稱，則PQ+PB的最小值就是QA的長度，求解即可；
（4）根據全等的知識，利用三角函數，借助于方程求解即可．
解答：解：（1）∵⊙E的半徑為2，
∴點E的坐標為（-4，0）易知A（-2，0），B（-6，0）
∵拋物線過點A和B，
∴
解得
∴拋物線的解析式為y=x²+x+2；（2分）

（2）∵拋物線y=x²+x+2與y軸交于點C，
令x=0，y=×0²+×0+2=2，
∴C（0，2）
作圖象如右；（4分）（未作圖的給3分）

（3）∵Q（m，），
∴=m²+m+2
整理為m²+8m-20=0，
即m₁=2，m₂=-10
∵m＜0，則m=-10
∴Q（-10，）（5分）
∵y=（x+4）²-，
又∵A（-2，0）與B（-6，0）
關于x=-4對稱，則PQ+PB的最小值就是QA的長度
∴PQ+PB=PA+PQ=QA=；（6分）

（4）解法一：連接EF，
∵EF=2，在Rt△COD與Rt△EFD中，EF=CO=2
又∵∠CDO=∠EDF，
∴Rt△COD≌Rt△EFD
設OD=-x，則ED=CD=4+x，在Rt△COD中2²+（-x）²=（4+x）²，則X_F=-1.5
∴CD=4-1.5=2.5，設∠OCD=∠1，則sin∠1=．
設X₁=α
又∵CF==4，
∴=sin∠1，
∴
∴a=-=-2.4（8分）
又S_△COF=S_△COM，
∵CO=CO，三角形同底則只要高相等，則S_△COF=S_△COM
∴x_M=X_F或X_M=-X_F，
故存在x_M1=2.4或x_M2=-2.4
y_M1=×-2.4²+x-2.4+2=-0.24，
y_M2=×2.4²+×2.4+2=6.16
∴M的坐標為M₁（-2.4，-0.24），M₂（2.4，6.16）（10分）
解法二：如圖過F點作y軸的垂線交y軸于G點，由△COD≌△EFD?CD=ED
設OD=xED=CD=4-x，
則有（4-x）²-x²=2²?x=1.5又CF==4（7分）
又∵Rt△COD≌Rt△EFD，CD=DE，OD=DF
∴=2.4（8分）
若S_△COF=S_△COM，故M點到底邊CO的高為2.4，則存在x_M1=2.4或x_M2=-2.4
當x_M1=-2.4時，y_M1=×（-2.4）²+×（-2.4）+2=-0.24，
∴M₁（-2.4，-0.24）x_M2=2.4時，×2.4+2=6.16，
∴M₂（2.4，6.16）（10分）
如果有其它不同解法，可依據解法一或解法二的得分標準給分．
點評：此題考查了圓與二次函數的綜合知識，是中考中難度較大的題目；解題時要注意審題，理解題意；特別是要注意數形結合思想與方程思想的應用．