Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系，點 O 是原點，直線 y x 6分別交 x 軸，y 軸于點 B，A，經過點 A 的直線 y x b 交 x 軸于點 C．

　　

（1）求 b 的值 ；

（2）點 D 是線段 AB 上的一個動點，連接 OD，過點 O 作 OE⊥OD 交 AC 于點 E，連接DE，將△ODE 沿 DE 折疊得到△FDE，連接 AF．設點 D 的橫坐標為 t，AF 的長為 d，當t＞ 3 時，求 d 與 t 之間的函數關系式（不要求寫出自變量 t 的取值范圍）；

（3）在（2）的條件下，DE 交 OA 于點 G，且 tan∠AGD=3.點 H 在 x 軸上（點 H 在點O 的右側），連接 DH，EH，FH，當∠DHF=∠EHF 時，請直接寫出點 H 的坐標，不需要寫出解題過程．

Answer 1

【答案】（1）b＝6；（2）d＝6＋2t；（3）H點的坐標為（2，0）或（10，0）．

【解析】

（1）由y＝x＋6求得A點坐標，再將A點坐標代入y＝x＋b中，便可求得b；

（2）過點D分別作DM⊥x軸于點M，DN⊥y軸于點N，過點F作FR⊥AF交AE于點R，可證明四邊形DMON為矩形，再證△AOD≌△COE（ASA），用t表示AD，然后證明△ADF≌△REF（AAS），進而用t表示AR，問題便可迎刃而解；

（3）分兩種情況解答：第一種情況，當FH平分∠DHE時，連接OF，過E作EK⊥x軸于點K，作EL⊥y軸于點L，設正方形ODFE的外接圓交x軸于點H，證明△ODM≌△EOK（AAS），用t表示出EL，OL，再由tan∠AGD＝3，便可用t表示GN，GL，由OA＝6列出t的方程求得t，便可求得H點坐標；第二種情況，當∠DHF與∠EHF重合時，延長DE與x軸交于點H，求出DE與x軸的交點坐標便可．

解：（1）令x＝0，得y＝x＋6＝6，

∴A（0，6），

把A（0，6）代入y＝x＋b中，得b＝6；

（2）令y＝0，得y＝x＋6＝0，則x＝6，

∴B（6，0），

∵點D的橫坐標為t，

∴D（t，t＋6），

令y＝0，得y＝x＋6＝0，x＝6，

∴C（6，0），

∵OA＝OB＝6，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

同理∠OAC＝∠OCA＝45°，

∴∠BAC＝90°，

在Rt△AOC中，AC＝OA＝，

如圖1，過點D分別作DM⊥x軸于點M，DN⊥y軸于點N，

∵∠DMO＝∠MON＝∠OND＝90°，

∴四邊形DMON為矩形，

∴DN＝OM＝t，

在Rt△ADN中，∠DAN＝45°，AD＝，

∵∠AOD＋∠AOE＝90°，∠COE＋∠AOE＝90°，

∴∠AOD＝∠COE，

又∵∠OAD＝∠OCE＝45°，OA＝OC，

∴△AOD≌△COE（ASA），

∴OD＝OE，AD＝CE＝，

∵△DFE和△DOE關于DE對稱，

∴DF＝OD＝OE＝EF，∠DFE＝∠DOE＝90°，

過點F作FR⊥AF交AE于點R，

∵∠AFD＋∠DFR＝90°，∠RFE＋∠DFR＝90°，

∴∠AFD＝∠RFE，

∵∠ERF＝∠RAF＋∠AFR＝∠RAF＋90°，∠DAF＝∠RAF＋∠DAR＝∠RAF＋90°，

∴∠ERF＝∠DAF，

∴△ADF≌△REF（AAS），

∴AF＝RF，AD＝RE＝，

∴∠FAR＝∠FRA，

又∵∠FAR＋∠FRA═90°，

∴∠FAR＝∠FRA＝45°，

在Rt△AFR中，AR＝ACCEER＝，AF＝AR＝6＋2t，

∴d＝6＋2t；

（3）如圖2，連接OF，過E作EK⊥x軸于點K，,作EL⊥y軸于點L，

由（2）可得四邊形ODFE是正方形，設正方形ODFE的外接圓交x軸于點H，

∴∠DOM＋∠ODM＝∠DOM＋∠EOK＝90°，

∴∠ODM＝∠EOK，

∵∠OMD＝∠EKO＝90°，OD＝EO，

∴△ODM≌△EOK（AAS），

∴EK＝OM＝DN＝OL＝t，LE＝OK＝DM＝6＋t，

∵tan∠AGD＝3，DN＝t，

∴，即，

∴GN＝，GL＝，

∴OA＝OL＋GL＋GN＋AN＝，

∵OA＝6，

∴2t＋2＝6，

∴t＝2，

∴AF＝6＋2t═2，

∵OF是正方形ODFE的外接圓的直徑，

∴FH⊥x軸，∠DHF＝∠DOF＝∠EOF＝45°＝∠EHF，

∴H（2，0）滿足條件；

如圖3，延長DE與x軸交于點H，則∠DHF＝∠EHF，

由以上知D（2，4），E（4，2），

設直線DE的解析式為：y＝kx＋b（k≠0），

則，解得：，

∴直線DE的解析式為：，

當y＝0時，得，

解得：x＝10，

∴H（10，0），

綜上，H點的坐標為（2，0）或（10，0）．