Question

【題目】如圖所示，已知四邊形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD為銳角．
（1）求證：AD⊥BF；
（2）若BF=BC，求∠ADC的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，連結DB、DF．

∵四邊形ABCD，ADEF都是菱形，

∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA．

在△BAD與△FAD中，

，

∴△BAD≌△FAD，

∴DB=DF，

∴D在線段BF的垂直平分線上，

∵AB=AF，

∴A在線段BF的垂直平分線上，

∴AD是線段BF的垂直平分線，

∴AD⊥BF；

（2）如圖，設AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，則四邊形BGDH是矩形，

∴DG=BH= BF．

∵BF=BC，BC=CD，

∴DG= CD．

在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG= CD，

∴∠C=30°，

∵BC∥AD，

∴∠ADC=180°﹣∠C=150°．

【解析】（1）連結DB、DF．根據菱形四邊相等得出AB=AD=FA，再利用SAS證明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在線段BF的垂直平分線上，又AB=AF，即A在線段BF的垂直平分線上，進而證明AD⊥BF；（2）設AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，證明DG= CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根據平行線的性質即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°．