Question

如圖，已知在直角坐標平面內，點A的坐標為（3,0），第一象限內的點P在直線y=2x上，∠PAO=45度．

（1）求點P的坐標；

（2）如果二次函數的圖像經過P、O、A三點，求這個二次函數的解析式，并寫出它的圖像的頂點坐標M；

（3）如果將第（2）小題中的二次函數的圖像向上或向下平移，使它的頂點落在直線y=2x上的點Q處，求△APM與△APQ的面積之比．

 

Answer 1

解：（1）過點P作PH⊥OA，垂足為點H．

∵點P在直線上，∴設點P的坐標為．

∵∠PAO=45°，PH⊥OA，∴∠PAO=∠APH=45°．

∴PH=AH=2x．

∵點的坐標為（3,0），∴．

∴．∴點P的坐標為（1,2）．

（2）設所求的二次函數解析式為．

∵圖像經過P（1,2）、O（0,0）、A（3,0）三點，

∴

解得

∴所求的二次函數解析式為．

頂點M的坐標為（，）．

（3）根據題意，得點Q的坐標為（，3）．

∵，，

，

∴，

．

∴△APM與△APQ的面積之比為．

另解：根據題意，得點Q的坐標為（，3）．

設圖像的對稱軸與直線AP相交于點N，則點N的坐標為（，）．

∴，．

∴．

∴，．

∴△APM與△APQ的面積之比為