Question

【題目】如圖1，點(diǎn)E為△ABC邊AB上的一點(diǎn)，⊙O為△BCE的外接圓，點(diǎn)D為上任意一點(diǎn)．若AE=AC=2n，BC=n2－1，BE=n2－2n+1 ．(n≥2，且n為正整數(shù)) ．

（1）求證：∠CAE+∠CDE=90°；

（2）①如圖2，當(dāng)CD過(guò)圓心O時(shí)，①將△ACD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得△AEF，連接DF，請(qǐng)補(bǔ)全圖形，猜想CD、DE、DF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想；②若n=3，求AD的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析；，證明見(jiàn)解析；②

【解析】

（1）先計(jì)算AB的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定，然后根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和圓周角定理的推論即可證得結(jié)論；

（2）①根據(jù)題意即可補(bǔ)全圖形，如圖3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，然后根據(jù)（1）的結(jié)論、四邊形的內(nèi)角和和周角的定義即可推出，再根據(jù)勾股定理和等量代換即可得出結(jié)論；

②如圖4，過(guò)點(diǎn)作于，先根據(jù)△ABC的面積求出CH的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理和線段的和差關(guān)系求出AH和HE的長(zhǎng)，進(jìn)而可求出CE的長(zhǎng)，由可得其正弦相等，進(jìn)而可求出CD的長(zhǎng)，然后由①的結(jié)論可求出DF的長(zhǎng)，又易證，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出AD的長(zhǎng)．

（1）證明：，

，

，，

，

，

，

，

，

即；

（2）解：①補(bǔ)全圖形如圖3所示；

CD、DE、DF之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：

如圖 3，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，

由（1）得：，

，

，

，

，

，

；

②當(dāng)時(shí)，，

如圖4，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，

則由△ABC的面積可得：，

，

，

∵CD是直徑，∴∠CED=90°，

，，

，

，即：，解得，

∴，

，

，，

，

，

．