Question

（2013•房山區二模）已知二次函數y=x2+kx+

1

2

k-

7

2

．
（1）求證：不論k為任何實數，該函數的圖象與x軸必有兩個交點；
（2）若該二次函數的圖象與x軸的兩個交點在點A（1，0）的兩側，且關于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數根，求k的整數值；
（3）在（2）的條件下，關于x的另一方程x²+2（a+k）x+2a-k²+6k-4=0 有大于0且小于3的實數根，求a的整數值．

Answer 1

分析：（1）表示出方程：x²+kx+

1

2

k-

7

2

=0的判別式，即可得出結論；
（2）二次函數的圖象與x軸的兩個交點在點A（1，0）的兩側，則可得當x=1時，函數值y＜0，再由關于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數根，可得出k的取值范圍，從而得出k的整數值；
（3）將求得的k的值代入，然后可求出方程的根，根據方程有大于0且小于3的實數根，可得出a的取值范圍，繼而得出a的整數值．

解答：（1）證明：x²+kx+

1

2

k-

7

2

=0，
△₁=b²-4ac=k²-4（

1

2

k-

7

2

）
=k²-2k+14
=k²-2k+1+13
=（k-1）²+13＞0，
∴不論k為任何實數，該函數的圖象與x軸必有兩個交點；

（2）解：∵二次函數y=x²+kx+

1

2

k-

7

2

的圖象與x軸的兩個交點在點（1，0）的兩側，且二次函數開口向上，
∴當x=1時，函數值y＜0，
即1+k+

1

2

k-

7

2

＜0，
解得：k＜

5

3

，
∵關于x的一元二次方程k²x²+（2k+3）x+1=0有兩個不相等的實數根，
∴k≠0且△₂=b²-4ac=（2k+3）²-4k²=4k²+12k+9-4k²=12k+9＞0，
∴k＞-

3

4

且k≠0，
∴-

3

4

＜k＜

5

3

且k≠0，
∴k=1；

（3）解：由（2）可知：k=1，
∴x²+2（a+1）x+2a+1=0，
解得x₁=-1，x₂=-2a-1，
根據題意，0＜-2a-1＜3，
∴-2＜a＜-

1

2

，
∴a的整數值為-1．

點評：本題考查了二次函數的綜合，涉及了拋物線與x軸的交點問題、根的判別式、不等式組的整數解，對于此類綜合題往往涉及的知識點較多，同學們注意培養自己解答綜合題的能力，將所學知識融會貫通．