Question

三等分任意角是三大幾何作圖不能問題之一，古希臘數學家阿基米德就設計出了一個巧妙的三等分角的方法：在直尺邊緣上添加一點P，命尺端為O（如圖①）；設所要三等分的角是∠MCN，以C為圓心，OP為半徑作半圓交給定角的兩邊CM、CN于A、B兩點；移動直尺，使直尺上的O點在AC的延長線上移動，P點在圓周上移動，當直尺正好通過B點時，連OPB，則有∠AOB=∠MCN．這種方法由于在直尺上作了一個記號，不符合尺規作圖中直尺只能用來連線的規定，因此還不能算是嚴格意義上的尺規作圖．
（1）動手實踐操作，用以上方法三等分∠MCN，在圖②中畫出圖形并標明相應字母；
（2）請你就阿基米德的作圖方法給出證明．

Answer 1

（1）解：如圖所示：

（2）證明：∵OP=PC=BC，
∴∠O=∠PCO，∠A=∠2，
設∠O=∠PCO=x，
∴∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x，
∴∠3=∠O+∠2=3x，
∴∠AOB=∠MCN．
分析：（1）根據題意畫出圖形即可，注意OP長度不變；
（2）根據等邊對等角以及三角形外角的性質得出∠O+∠PCO=∠1=∠2=2x，即可得出答案．
點評：此題主要考查了復雜作圖以及三角形外角的性質以及等邊對等角，根據已知條件用同一個未知數得出∠AOB與∠MCN關系是解題關鍵．