Question

【題目】如圖1，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內(nèi)的一個動點，且點P的橫坐標(biāo)為t．

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D．在直線l上是否存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設(shè)△PBC的面積為S．求S關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；并求S最大時點P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）在直線l上存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，點M的坐標(biāo)為（1，6）；（3）S＝﹣t2+t，當(dāng)t ＝時，S有最大值，此時P（，）

【解析】

（1）把點A、B坐標(biāo)代入y＝﹣x2+bx+c，利用待定系數(shù)法求解即可；

（2）先求出C、D坐標(biāo)，假設(shè)直線l上存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，求出點P坐標(biāo)，進(jìn)而求出點M坐標(biāo)；

（3）過點P作PF∥y軸，交BC于點F，求出直線BC解析式，表示出線段PF長，根據(jù)即可得到S關(guān)于t的函數(shù)解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．

解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，

，解得：，

∴拋物線的表達(dá)式為y＝﹣x2+2x+3．

（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對稱軸l于點E，

∵拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，

∴拋物線的對稱軸為直線x＝1．

當(dāng)x＝0時，y＝﹣x2+2x+3＝3，

∴點C的坐標(biāo)為（0，3）．

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE＝PE，DE＝ME，

∵點C的橫坐標(biāo)為0，點E的橫坐標(biāo)為1，

∴點P的橫坐標(biāo)t＝1×2﹣0＝2，

∴點P的坐標(biāo)為（2，3），

∴點E的坐標(biāo)為（1，3），

∴點M的坐標(biāo)為（1，6）．

故在直線l上存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形，點M的坐標(biāo)為（1，6）．

（3）在圖2中，過點P作PF∥y軸，交BC于點F．

設(shè)直線BC的解析式為y＝mx+n（m≠0），

將B（3，0）、C（0，3）代入y＝mx+n，

，解得：，

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+3．

∵點P的坐標(biāo)為（t，﹣t2+2t+3），

∴點F的坐標(biāo)為（t，﹣t+3），

∴PF＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，

∴ ，

∴當(dāng)t ＝時，S有最大值，此時P（，）．