Question

操作：如圖①，△ABC是正三角形，△BDC是頂角∠BDC=120°的等腰三角形，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN．
探究：線段BM、MN、NC之間的關系，并加以證明．
說明：（1）如果你經歷反復探索，沒有找到解決問題的方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少寫3步）；（2）在你經歷說明（1）的過程之后，可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件，完成你的證明．
注意：選取①完成證明得10分；選�、谕瓿勺C明得5分．
AN=NC（如圖②）；②DM∥AC（如圖③）．
附加題：若點M、N分別是射線AB、CA上的點，其它條件不變，再探線段BM、MN、NC之間的關系，在圖④中畫出圖形，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據已知先證明Rt△BDM≌Rt△CDM₁從而得到BM=CM₁，然后再證明△MDN≌△M₁DN，從而推出MN=NM₁=NC-CM₁=NC-MB．
在證明時，需添加輔助線，采用“截長補短”法，借助三角形全等進行證明．
解答：解：（1）BM+CN=MN
證明：如圖，延長AC至M₁，使CM₁=BM，連接DM₁
由已知條件知：∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁
∴∠MDB=∠M₁DC，DM=DM₁
∴∠MDM₁=（120°-∠MDB）+∠M₁DC=120°．
又∵∠MDN=60°，
∴∠M₁DN=∠MDN=60°．
∴△MDN≌△M₁DN．
∴MN=NM₁=NC+CM₁=NC+MB．

（2）附加題：CN-BM=MN
證明：如圖，在CN上截取CM₁，使CM₁=BM，連接MN，DM₁
∵∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=∠DCB=30°，
∴∠DBM=∠DCM₁=90°．
∵BD=CD，
∴Rt△BDM≌Rt△CDM₁
∴∠MDB=∠M₁DC，DM=DM₁
∵∠BDM+∠BDN=60°，
∴∠CDM₁+∠BDN=60°．
∴∠NDM₁=∠BDC-（∠M₁DC+∠BDN）=120°-60°=60°．
∴∠M₁DN=∠MDN．
∵ND=ND，
∴△MDN≌△M₁DN．
∴MN=NM₁=NC-CM₁=NC-MB．
點評：此題主要考查等邊三角形，等腰三角形的性質及三角形全等的判定等知識；正確作出輔助線是解答本題的關鍵．該題是一個純圖形探索證明題，注意培養自己的探索精神和鉆研精神．