Question

【題目】一個六邊形的花壇被分割成7個部分，其中四邊形PRBA，RQDC，QPFE為正方形。記正方形PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為，，， RH⊥PQ，垂足為H。

（1）若PR⊥QR，=16，=9，則= ，RH= ；

（2）若四邊形PRBA，RQDC，QPFE的面積分別為25m2、13m2、36m2

①求△PRQ的面積；

②請判斷△PRQ和△DEQ的面積的數量關系，并證明你的結論；

③六邊形花壇ABCDEF的面積是　　　　m2．

Answer 1

【答案】(1)25，2.4；(2)①9，②S△PRQ=S△DQE，證明見解析，③110.

【解析】

(1)由s1=16，s2=9，可知PR=4，RQ=3，利用勾股定理求出PQ=5，即可得解；

(2)①方法一：設PH=a，則QH=6-a，在Rt△PRH和Rt△QRH中分別利用勾股定理表示RH2，列出方程即可求出a，再利用勾股定理求出RH，即可求出△PRQ的面積；

方法二：設RH=h，利用勾股定理得出PH==，QH==，根據PQ=6得到=6﹣，兩邊平方可求出h，即可得解；

②延長RQ到點M,使QM=RQ,連結PM，易證△DQE≌△MQP，得到S△DQE=S△MQP，由RQ=QM等底同高的三角形面積相等可知S△PRQ=S△MQP，等量代換得出S△PRQ=S△DQE；

③由①②可知，S△PRQ=S△DQE=S△BCR=S△APF，即可得解.

解：(1)∵s1=16，s2=9，

∴PR=4，RQ=3，

∵PR⊥QR，

∴PQ==5，

∴s3=25，RH==2.4；

(2)①方法一：設PH=a，則QH=6-a，

∵，

∴，

解得：a=4，

∴=25-16=9，

∴RH=3，

∴S△PQR=×6×3=9；

方法二：如圖，RH⊥PQ于H，設RH=h，

在Rt△PRH中，PH==，

在Rt△RQH中，QH==，

∴PQ=+=6，

=6﹣，

兩邊平方得，25﹣h2=36﹣12+13﹣h2，

整理得，=2，

兩邊平方得，13-h2=4，

解得h=3，

∴S△PQR=×6×3=9；

②S△PRQ=S△DQE，

證明：延長RQ到點M,使QM=RQ,連結PM，

∵QD=QM，∠DQE=∠MQP，QE=QP，

∴△DQE≌△MQP，

∴S△DQE=S△MQP，

∵RQ=QM，

∴S△PRQ=S△MQP，

∴S△PRQ=S△DQE；

③由②可知S△PRQ=S△DQE，同理S△PRQ=S△APF，

∵RB=RP，∠BRC=∠PRQ，RC=RQ，

∴△BRC≌△PRQ，

∴S△BRC=S△PRQ，

∵S△PQR=9，

∴六邊形花壇ABCDEF的面積=25+13+36+4×9=74+36=110m2．

故答案為：(1)25，2.4；(2)①9，②S△PRQ=S△DQE，證明見解析，③110.