Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣2x與x軸交于O、B兩點，頂點為P，連接OP、BP，直線y=x﹣4與y軸交于點C，與x軸交于點D．

（1）寫出點B坐標；判斷△OBP的形狀；

（2）將拋物線沿對稱軸平移m個單位長度，平移的過程中交y軸于點A，分別連接CP、DP；

（i）若拋物線向下平移m個單位長度，當S△PCD= S△POC時，求平移后的拋物線的頂點坐標；

（ii）在平移過程中，試探究S△PCD和S△POD之間的數量關系，直接寫出它們之間的數量關系及對應的m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（2，0）；等腰直角三角形；（2）（i）或;（ii）當m≥2時，S△POD﹣S△PCD=6；當﹣1≤m＜2時，S△POD+S△PCD=6；當m＜﹣1時，S△POD﹣S△PCD=6.

【解析】

（1）根據自變量與函數值得對應關系，可得B點坐標，根據配方法，可得頂點坐標，根據勾股定理及勾股定理的逆定理，可得答案；
（2）根據自變量與函數值得對應關系，可得C，D，M點坐標，根據平移規律，可得P點坐標，根據平行于y軸的直線上兩點間的距離較大的縱坐標減較小的縱坐標，可得PM的長，（i）根據面積的關系，可得關于m的方程，根據解方程，可得到頂點坐標；（ii）根據三角形的面積，可得答案．

（1）當y=0時，x2﹣2x=0，解得x=0（舍）或x=2，即B點坐標為（2，0），

∵拋物線y=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1，

∴P點坐標為（1，﹣1），由勾股定理，得

OP2=（2﹣1）2+12=2，

∴OP2+BP2=OB2 ， OP=BP，

∴△OBP是等腰直角三角形，

（2）解：∵直線y=x﹣4與y軸交于點C，與x軸交于點D，

∴C（0，﹣4），D（4，0），當x=1時，y=﹣3，即M（1，﹣3），

拋物線向下平移m個單位長度，解析式為y=（x﹣1）2﹣（1+m），P（1，﹣1﹣m），

∴

S△PCD=S△PMC+S△PMD= PM|xP﹣xC|= |m﹣2|×4=2|m﹣2|，

（i）S△POC= AC|xP|= ×4×1=2，

∵S△PCD= S△POC，

∴S△PCD=2|m﹣2|=2 ，

解得m=2+ 或m=2﹣ ，

∴或;

（ii）

①當m≥2時，S△PCD=2|m﹣2|=2m﹣4，S△POD=2|m+1|=2m+2，

∴S△POD﹣S△PCD=6

②當﹣1≤m＜2時，S△PCD=2|m﹣2=4﹣2m，S△POD=2|m+1|=2m+2，

∴S△POD+S△PCD=6

③當m＜﹣1時，S△PCD=2|m﹣2|=4﹣2m，S△POD=2|m+1|=2﹣2m，

∴S△POD﹣S△PCD=6，

綜上所述：當m≥2時，S△POD﹣S△PCD=6；當﹣1≤m＜2時，S△POD+S△PCD=6；當m＜﹣1時，S△POD﹣S△PCD=6.