Question

【題目】如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3）．雙曲線y= （x＞0）的圖象經(jīng)過BC的中點(diǎn)D，且與AB交于點(diǎn)E，連接DE．

（1）求k的值及點(diǎn)E的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)F是OC邊上一點(diǎn)，且△FBC∽△DEB，求直線FB的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵BC∥x軸，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，3），

∴BC=2，

∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，

∴CD=1，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），

代入雙曲線y= （x＞0）得k=1×3=3；

∵BA∥y軸，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)相等，為2，

∵點(diǎn)E在雙曲線上，

∴y=

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2， ）

（2）

解：∵點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2， ），B的坐標(biāo)為（2，3），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，3），

∴BD=1，BE= ，BC=2

∵△FBC∽△DEB，

∴

即：

∴FC=

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0， ）

設(shè)直線FB的解析式y(tǒng)=kx+b（k≠0）

則

解得：k= ，b=

∴直線FB的解析式y(tǒng)=

【解析】（1）首先根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)和點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)的解析式求得k值，然后將點(diǎn)E的橫坐標(biāo)代入求得E點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可；（2）根據(jù)△FBC∽△DEB，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等確定點(diǎn)F的坐標(biāo)后即可求得直線FB的解析式．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用反比例函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握反比例函數(shù)的圖像屬于雙曲線．反比例函數(shù)的圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形．有兩條對(duì)稱軸：直線y=x和 y=-x．對(duì)稱中心是：原點(diǎn)；性質(zhì):當(dāng)k＞0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而減小； 當(dāng)k＜0時(shí)雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y值隨x值的增大而增大．