Question

【題目】在△ABC 中，∠ABC＝60°，BC＝8，點 D 是 BC 邊的中點，點 E 是邊 AC上一點，過點 D 作 ED 的垂線交邊 AC 于點 F，若 AC＝7CF，且 DE 恰好平分△ABC 的周長，則△ABC 的面積為______．

Answer 1

【答案】10

【解析】

取 AC 的中點 M，連接 DM，作 AH⊥BC 于 H．設 DM＝a，AE＝b．想辦法證明 DM＝EM＝FM＝a．AE＝CF＝b，2a＝5b，解直角三角形求出 BH，CH 用 b 表示，根據邊長的長構建方程求出 b 即可解決問題；

如圖，取AC的中點M，連接DM，作AH⊥BC于H．

設 DM＝a，AE＝b．

∵BD＝DC，AM＝MC，

∴AB＝2DM＝2a，

∵AB+AE+BD＝EC+DC，

∴EC＝2a+b，AC＝2a+2b，

∴AM＝MC＝a+b，

∴EM＝a，

∴EM＝DM，

∴∠MED＝∠MDE，

∵∠MED+∠MFD＝90°，∠MDE+∠MDF＝90°，

∴∠MFD＝∠MDF，

∴MD＝MF＝a，

∴CF＝AE＝b，

∵AC＝7CF，

∴2a+2b＝7b，

∴2a＝5b，

∵AB＝5b，AC＝7b，

在 Rt△ABH 中，∵∠B＝60°，

∴BH＝ AB＝ b，AH＝ b，

在 Rt△ACH 中，CH＝＝b，

∴BC＝BH+HC＝8b，

∴8b＝8，

∴b＝1，

∴S△ABC＝ ×8×＝10，

故答案為： 10．