Question

如圖①，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC＝8cm，BC＝6cm，∠C＝90°，EG＝4cm，∠EGF＝90°，O 是△EFG斜邊上的中點．

如圖②，若整個△EFG從圖①的位置出發，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在△EFG 平移的同時，點P從△EFG的頂點G出發，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，△EFG也隨之停止平移．設運動時間為x（s），FG的延長線交 AC于H，（不考慮點P與G、F重合的情況）．

（1）當x為何值時，OP∥AC ?

（2）你能不能用含x的式子來表示四邊形OAHP面積呢？若能，請表示；若不能，請說明理由。

（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由．（參考數據：114² ＝12996，115² ＝13225，116² ＝13456或4.4² ＝19.36，4.5² ＝20.25，4.6² ＝21.16）

        

Answer 1

（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，∴，．∴FG＝＝3cm．

∵當P為FG的中點時，OP∥EG ，EG∥AC ，∴OP∥AC．

∴ x ＝＝×3＝1.5（s）．∴當x為1.5s時，OP∥AC ．

（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF ＝5cm．

∵EG∥AH ，∴△EFG∽△AFH ．∴．

∴．∴ AH＝（ x ＋5），FH＝（x＋5）．

過點O作OD⊥FP ，垂足為 D ．

∵點O為EF中點，∴OD＝EG＝2cm．∵FP＝3－x ，

∴S_{四邊形OAHP} ＝S_△AFH －S_△OFP＝·AH·FH－·OD·FP

＝x²＋x＋3 （0＜x＜3．

（3）假設存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24．

則S_{四邊形OAHP}＝×S_△ABC，∴x²＋x＋3＝××6×8,

∴6x²＋85x－250＝0,解得 x₁＝， x₂＝ －（舍去）．

∵0＜x＜3，

∴當x＝（s）時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24．